Question

Пятый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма шестого и девятого её членов равна 16. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Answer 1

Ответ:

40.

Пошаговое объяснение:

Пятый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма шестого и девятого ее членов равна 16. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Воспользуемся формулой n- го члена арифметической прогрессии.

$a{_n}= a{_1}+d\cdot(n-1)$.

$a{_5}= a{_1} +4d;$

Тогда $a{_1} +4d=3$

$a{_6}= a{_1} +5d;\\a{_9}= a{_1} +8d.$

$a{_6}+a{_9}= a{_1} +5d+ a{_1} +8d= 2a{_1} +13d.$

Получим

$2a{_1} +13d=16$

Составим и решим систему

$\left \{\begin{array}{l} a{_1}+4d =3 \\2a{_1}+13d =16 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\2(3-4d)+13d =16 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\6-8d+13d =16 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\5d =10 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4d \\d =10:5 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=3-4\cdot 2 \\d =2 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1}=-5 \\d =2 \end{array} \right.$

Найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии по формуле:

$S {_n}= \dfrac{2a{_1}+d\cdot (n-1)}{2} \cdot n$

$S {_{10}}= \dfrac{2a{_1}+9d}{2} \cdot 10$

$S {_{10}}= \dfrac{2\cdot (-5)+9\cdot 2}{2} \cdot 10= \dfrac{-10+18}{2} \cdot 10=4\cdot 10 =40$

Значит, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 40.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия имеет общую формулу для вычисления n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d,$

где:

• $a_n$ - n-й член прогрессии,
• $a_1$ - первый член прогрессии,
• $n$ - порядковый номер члена,
• $d$ - разность между последовательными членами прогрессии.

Мы знаем, что пятый член арифметической прогрессии равен 3, поэтому $a_5 = 3$. Также нам известно, что сумма шестого и девятого членов равна 16, что можно записать как $a_6 + a_9 = 16$.

Теперь нам нужно найти $a_6$ и $a_9$. Используем формулу для $a_n$:

Для $a_6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Для $a_9$: $a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Теперь мы имеем два уравнения:

1. $a_5 = 3$
2. $a_6 + a_9 = 16$

Подставим значения из уравнения (1) в уравнение (2):

$3 + (a_1 + 5d) + (a_1 + 8d) = 16$

Теперь объединим подобные члены:

$2a_1 + 13d = 16 - 3$

$2a_1 + 13d = 13$

Теперь мы имеем систему двух уравнений:

1. $2a_1 + 13d = 13$
2. $a_5 = 3$

Теперь найдем значения $a_1$ и $d$, решая эту систему.

Сначала найдем $d$, используя уравнение (2):

$2a_1 + 13d = 13$

$13d = 13 - 2a_1$

$d = \frac{13 - 2a_1}{13}$

Теперь подставим значение $d$ в уравнение (1) для $a_5$:

$a_5 = 3$

$a_1 + 4d = 3$

Теперь подставим выражение для $d$ из уравнения (2):

$a_1 + 4\left(\frac{13 - 2a_1}{13}\right) = 3$

Умножим обе стороны на 13, чтобы избавиться от дроби:

$13a_1 + 4(13 - 2a_1) = 39$

Раскроем скобки:

$13a_1 + 52 - 8a_1 = 39$

Теперь объединим подобные члены:

$5a_1 + 52 = 39$

Выразим $5a_1$:

$5a_1 = 39 - 52$

$5a_1 = -13$

$a_1 = \frac{-13}{5}$