Question

Знайдіть проміжки монотонності функції: y = x 3 − 9x 2 + 24x − 12.

Answer 1

Ответ:

Будет у=9х+24х

у=33х

у=12-2

у=10

у=33х+10

у=43х

Ответ у=43х

Answer 2

Для знаходження проміжків монотонності функції $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 12$, спершу знайдемо похідну цієї функції та точки, в яких вона дорівнює нулю. Проміжки монотонності визначаються за змінами знаків похідної.

1. Знайдемо похідну функції $y$: $y' = 3x^2 - 18x + 24$.

2. Тепер знайдемо точки, в яких $y' = 0$, розв'язавши рівняння $3x^2 - 18x + 24 = 0$. Для цього спростимо рівняння, поділивши всі його члени на 3: $x^2 - 6x + 8 = 0$.

3. Розв'яжемо це квадратне рівняння. Для цього можна використовувати квадратну формулу або факторизацію: $(x - 4)(x - 2) = 0$.

   З цього рівняння маємо два корені: $x = 4$ та $x = 2$.

Тепер розглянемо проміжки між цими точками та за допомогою знаків похідної визначимо монотонність функції $y$:

1. Для $x < 2$, обчислимо значення $y'$ при $x = 1$: $y'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 24 = 3 - 18 + 24 = 9$.

   Оскільки $y'(1) > 0$, то функція $y$ зростає на проміжку $(-\infty, 2)$.

2. Для $2 < x < 4$, обчислимо значення $y'$ при $x = 3$: $y'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3$.

   Оскільки $y'(3) < 0$, то функція $y$ спадає на проміжку $(2, 4)$.

3. Для $x > 4$, обчислимо значення $y'$ при $x = 5$: $y'(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 24 = 75 - 90 + 24 = 9$.

   Оскільки $y'(5) > 0$, то функція $y$ зростає на проміжку $(4, \infty)$.

Отже, проміжки монотонності функції $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 12$ такі:

• Функція зростає на $(-\infty, 2)$ та $(4, \infty)$.
• Функція спадає на проміжку $(2, 4)$.