Question

С подробным решением Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите площадь вписанной сферы

Answer 1

Пусть вершина пирамиды расположена в точке O, а основание пирамиды - четырехугольник ABCD со стороной а. Так как угол при основании равен 60 градусам, то ABCD является равнобедренной трапецией с основаниями AB и CD и боковыми сторонами BC и AD.

Пусть M и N - середины боковых сторон BC и AD соответственно. Тогда OM и ON являются высотами пирамиды, а OMN является равносторонним треугольником со стороной a.

Рассмотрим вписанную сферу, описанную около треугольника OMN. Радиус этой сферы равен высоте OMN, которая равна a√3/2. Таким образом, радиус вписанной сферы равен a√3/2.

Чтобы найти площадь вписанной сферы, воспользуемся формулой для площади сферы:

S = 4πr^2

где r - радиус сферы.

Таким образом, площадь вписанной сферы равна:

S = 4π(a√3/2)^2 = 3πa^2

Ответ: площадь вписанной сферы равна 3πa^2.

Answer 2

Чтобы найти площадь вписанной сферы в правильную четырехугольную пирамиду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем высоту пирамиды (h).

Известно, что двугранный угол при основании равен 60 градусам, что означает, что треугольник на основании пирамиды является равносторонним. Поэтому высота пирамиды будет проходить через центр основания и перпендикулярна к его плоскости. Это создает прямоугольный треугольник со сторонами a/2, h и h/2, где a - длина стороны основания пирамиды. Таким образом, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты:

$tan(60^\circ) = \frac{h/2}{a/2}$

$tan(60^\circ) = \frac{h}{a}$

$h = a \cdot tan(60^\circ)$

$h = a \cdot \sqrt{3}$

2. Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем найти радиус вписанной сферы (r).

Рассмотрим половину правильной четырехугольной пирамиды. Это будет треугольная пирамида с высотой h и основанием равностороннего треугольника с длиной стороны a. Радиус вписанной сферы этой треугольной пирамиды будет равен высоте, деленной на 3:

$r = \frac{h}{3}$

$r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{3}$

3. Найдем площадь вписанной сферы (S).

Площадь сферы можно вычислить с использованием формулы:

$S = 4\pi r^2$

Подставим значение r:

$S = 4\pi \left(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^2$

$S = \frac{4\pi}{9} \cdot 3a^2$

$S = \frac{4\pi}{3}a^2$

Итак, площадь вписанной сферы в данную правильную четырехугольную пирамиду равна $\frac{4\pi}{3}a^2$.