Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями: у=х² , у=2х+3 та у=0.

Answer 1

Ответ:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями    

$\bf y=x^2\ ,\ \ y=2x+3\ ,\ \ y=0$  ,

Точки пересечения линий :   $\bf x^2=2x+3\ \ ,\ \ \ x^2-2x-3=0\ \ ,$    

 $\bf x_1=-1\ ,\ x_2=3$   .

Применяем определённый интеграл :

$\bf \displaystyle S=\int\limits^3_{-1}\, (2x+3-x^2)\, dx=\Big(x^2+3x-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-1}^3=\\\\\\=\Big(9+0-9\Big)-\Big(1-3+\frac{1}{3}\Big)=9-1+3-\frac{1}{3}= 10\frac{2}{3}$     ,

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої цими лініями, вам потрібно обчислити інтеграл від y=2x+3 до y=x² відносно x, а потім відняти інтеграл від y=0 до y=x² відносно x.

Спочатку знайдемо точки перетину кривих y=2x+3 та y=x², розв'язавши рівняння:

2x+3 = x²

Призводимо рівняння до стандартного квадратного вигляду:

x² - 2x - 3 = 0

Розв'язуємо це квадратне рівняння:

(x - 3)(x + 1) = 0

Знаходимо корені:

x₁ = 3 x₂ = -1

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої цими кривими:

∫[a, b] (верхня крива - нижня крива) dx, де a і b - це x-координати точок перетину.

Площа фігури:

S = ∫[-1, 3] (2x+3 - x²) dx

Розкладемо це на два інтеграла:

S = ∫[-1, 3] (2x+3) dx - ∫[-1, 3] (x²) dx

Тепер обчислимо ці інтеграли:

∫(2x+3) dx = x² + 3x + C₁

∫(x²) dx = (1/3)x³ + C₂

Тепер знаходимо різницю між цими інтегралами на відрізку [-1, 3]:

S = [(3² + 3*3 + C₁) - ((1/3)(-1)³ + C₂)]

S = [9 + 9 + C₁ - (-1/3) + C₂]

Тепер підставимо константи C₁ і C₂:

S = 18 + C₁ + 1/3 + C₂

Загальна площа фігури дорівнює:

S = 18 + (C₁ + C₂) + 1/3

Константи C₁ і C₂ визначаються відповідно до початкових умов або додаткових обмежень завдання. Без конкретних значень або обмежень не можливо точно обчислити площу фігури.