Question

а) В групповом турнире по футболу приняло участие 4 команды. «Чистое» второе место заняла команда, набравшая 3 очка. Восстановите результаты всех матчей. б) В однокруговом футбольном турнире приняло участие n команд. При каких n «чистое» второе место могла занять команда, набравшая n −1 очко? «Чистое» второе место означает, что больше нет команд, набравших столько же очков, и есть только одна команда, набравшая больше очков, выигрыш – 3 очка, ничья – 1 очко, проигрыш – 0 очков.

Answer 1

Ответ:
а) Щоб одна команда зайняла «чисте» друге місце з 3 очками, то на першому місці мусить бути команда з 4-ма очками, а на третьому та четвертому місцях - команди з 2 та 1 очком відповідно.

Отже, результати всіх матчів будуть наступними:

Команда 1: 2 очка

Команда 2: 3 очка

Команда 3: 1 очко

Команда 4: 4 очка

б) Щоб команда з набраними n - 1 очком зайняла «чисте» друге місце, не повинно бути жодної іншої команди з n-1 або більше очками.

В однокруговому турнірі кожна команда грає з кожною, тому кількість очок, яку може набрати команда, складається з наступних можливих значень: 3, 1, 0.

Отже, щоб команда з набраними n-1 очками зайняла «чисте» друге місце, всі інші команди повинні мати не більше n-2 очок, тобто не повинні набрати більше 1 перемоги.

З іншого боку, щоб було можливо набрати n-1 очок, команда повинна мати, принаймні, одну перемогу.

Отже, команда може зайняти «чисте» друге місце, набравши n-1 очок, якщо всі інші команди набрали не більше однієї перемоги, тобто при n ≥ 4.

Answer 2

а) Давайте разберемся с этим заданием.

Из условия видно, что в групповом турнире участвовали 4 команды. Поскольку каждая игра имеет одного победителя (выигрыш – 3 очка) и одного проигравшего (проигрыш – 0 очков), ничьих не было.

Так как вторая команда набрала 3 очка, это означает, что она выиграла одну игру. Это единственная игра, которую она выиграла, так как больше ни одна команда не набрала 3 очка.

Итак, у нас есть 3 оставшиеся команды (первая, третья и четвертая), и каждая из них играла против второй команды.

Так как у второй команды была одна победа, это означает, что она выиграла у одной из оставшихся трех команд. Назовем эту команду "Команда А".

Теперь у нас есть две команды, против которых играла "Команда А" и которые играли между собой. Поскольку "чистое" второе место означает, что больше нет команд, набравших столько же очков, и есть только одна команда, набравшая больше очков, это означает, что у "Команды А" больше очков, чем у любой другой команды.

Так как вторая команда набрала 3 очка, а "Команда А" выиграла у нее, "Команда А" набрала не менее 4 очков (3 за победу над второй командой и 1 за победу над командой, которая выиграла у второй команды).

Теперь у нас есть две команды, против которых играла "Команда А", и которые играли между собой. Поскольку "Команда А" набрала не менее 4 очков, ни одна из этих двух команд не может набрать 4 очка. Значит, у них максимум 3 очка. Но так как они играли друг с другом, одна из них набрала 3 очка, а другая - 0.

Итак, мы имеем следующие результаты:

1. Команда А - 4 очка (победы над 2 и 3 командами)
2. Вторая команда - 3 очка (поражение от Команды А)
3. Третья команда - 0 очков (поражение от Команды А)
4. Четвертая команда - 3 очка (победа над Второй командой)

б) Теперь рассмотрим ситуацию для произвольного количества команд n.

Если команда, занявшая чистое второе место, набрала n - 1 очко, это означает, что она выиграла n - 1 матчей и проиграла 1 матч.

Максимальное количество очков, которое может набрать любая другая команда, это n - 2 очка (поскольку она проиграла как минимум 2 матча).

Таким образом, чтобы команда, набравшая n - 1 очко, заняла чистое второе место, не должно быть других команд, набравших n - 1 очко или больше.

Иными словами, если n - 2 > n - 1, то есть, если n > 2, то команда, набравшая n - 1 очко, может занять чистое второе место.