Question

Радіус основи і висота циліндра дорівнюють відповідно см і см. Через дві точки, які лежать на колах різних основ циліндра, проведено пряму, яка знаходиться на відстані см від осі циліндра. Знайдіть кут, який утворює ця пряма з віссю циліндра.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Позначимо радіус основи циліндра через r. Тоді висота циліндра дорівнює також r (згідно з умовою).

Проведемо дві паралельні прямі, які проходять через вершину циліндра і касаються кіл основ циліндра у точках A і B, що лежать на одному горизонтальному рівні. Позначимо центр циліндра через O, а точки дотику прямих до колів через D і E. Тоді пряма, що проходить через точки A і B, буде паралельна площині (ABDE), яка перетинає циліндр по колу основи та двох площинах, паралельних до основи циліндра.

Оскільки пряма AB перетинає вісь циліндра на відстані 2r (оскільки вона знаходиться на відстані r від кожної з точок A і B), то точка перетину з віссю циліндра лежить на відстані r від кожної з точок D і E.

Розглянемо трикутник ODE, в якому OE = OD = 2r, а висота з вершини O до прямої AB дорівнює 2 см. Оскільки OE = OD, то трикутник ODE є рівнобедреним, а відповідна висота (від точки O до прямої AB) ділить основу на дві рівні частини.

Тому, використовуючи теорему Піфагора для трикутника ODE, можна знайти відстань від точки O до прямої AB:

(2 см)² + (r - r)² = (OD)²

4 см² = 4r²

r² = 1 см²

Отже, радіус основи циліндра дорівнює 1 см, а висота циліндра дорівнює також 1 см.

Таким чином, вісь циліндра є основною діагоналлю квадрата зі стороною 2 см, площа якого дорівнює 4 см²

Answer 2

Для знаходження кута між прямою, проведеною через дві точки на колах різних основ циліндра, і віссю циліндра, можемо використати геометричні властивості.

Спочатку визначимо дані:

• Радіус основи циліндра - R (в см).
• Висота циліндра - H (в см).
• Відстань прямої від осі циліндра - d (в см).

Для знаходження кута між цими двома векторами (віссю циліндра і прямою) можемо використати скалярний добуток векторів. Кут між двома векторами A і B обчислюється за формулою:

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|),

де A * B - скалярний добуток векторів A і B, |A| - довжина вектора A, |B| - довжина вектора B.

У нашому випадку, вектор, що представляє вісь циліндра, буде вектором [0, 0, H], а вектор, що представляє пряму, буде вектором [R, R, d]. Давайте обчислимо скалярний добуток цих векторів:

A * B = [0, 0, H] * [R, R, d] = 0 * R + 0 * R + H * d = H * d.

Тепер обчислимо довжини цих векторів:

|A| = √(0^2 + 0^2 + H^2) = H, |B| = √(R^2 + R^2 + d^2) = √(2R^2 + d^2).

Тепер можемо підставити ці значення в формулу для cos(θ):

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|) = (H * d) / (H * √(2R^2 + d^2)).

Тепер ми можемо обчислити кут θ:

cos(θ) = (H * d) / (H * √(2R^2 + d^2)),

cos(θ) = d / √(2R^2 + d^2).

Тепер за допомогою оберненого косинуса (арккосинуса) можна знайти значення кута θ:

θ = arccos(d / √(2R^2 + d^2)).

Отже, ви знаєте значення радіанів кута θ. Щоб отримати виміряний в градусах кут, можна помножити значення радіанів на (180/π):

θ (в градусах) = (180/π) * arccos(d / √(2R^2 + d^2)).

Зараз ви можете підставити конкретні значення R, H і d, і обчислити кут θ.