Question

Користуючись схемою Горнера, поділити 2х⁵+X⁴-5X³+ 4X² +1 НА X + 3. У відповіді зазначити частку та залишок. Порівняти залишок з отриманим за допомогою теореми Безу.​​

Answer 1

Для поділу полінома 2х⁵ + X⁴ - 5X³ + 4X² + 1 на X + 3 за допомогою схеми Горнера, потрібно скласти таблицю, де перший стовпчик міститиме коефіцієнти полінома, а останній стовпчик - значення полінома при підстановці X = -3. Розглянемо наступну таблицю:

| Коефіцієнти | | | | | | |

|------------|------|------|------|------|------|------|

| 2 | 0 | 1 | -5 | 4 | 1 | |

| | | -6 | -15 | 30 | -78 | 235 |

Отже, отримуємо, що частка дорівнює 2х⁴ - 6х³ - 15х² + 30х - 78, а залишок дорівнює 235.

Залишок, отриманий за допомогою схеми Горнера, можна перевірити за допомогою теореми Безу. Згідно з цією теоремою, залишок від ділення полінома на X + a дорівнює значенню полінома в точці a, тобто, у нашому випадку, залишок повинен дорівнювати значенню полінома при X = -3. Підставляючи X = -3, отримуємо:

2(-3)⁵ + (-3)⁴ - 5(-3)³ + 4(-3)² + 1 = -486 + 81 + 135 + 36 + 1

Answer 2

Для поділу полінома $2x^5 + x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 1$ на $x + 3$ за допомогою схеми Горнера, слід виконати наступні дії:

1. Запишемо коефіцієнти полінома у вигляді таблиці:

Copy code
2   1   -5   4   0   1

2. Починаємо з першого коефіцієнта (2) і ділимо його на $x + 3$, отримуючи 2.

3. Розміщуємо 2 як перший елемент результату:

Copy code
2

4. Множимо $x + 3$ на 2 і отримуємо $2x + 6$.

5. Віднімаємо це вираз від початкового полінома:

scssCopy code
2x^5 + x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 1 - (2x + 6)

Отримуємо:

Copy code
2x^5 + x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 1 - 2x - 6

6. Повторюємо ці кроки для нового поліному $2x^4 - 2x - 5$. Ділимо коефіцієнт 2 на $x + 3$ і отримуємо 2, яке додаємо до результату:

Copy code
2   2

Множимо $x + 3$ на 2 і отримуємо $2x + 6$. Віднімаємо це вираз від поточного полінома:

scssCopy code
2x^4 - 2x - 5 - (2x + 6)

Отримуємо:

Copy code
2x^4 - 2x - 5 - 2x - 6

7. Повторюємо це для інших коефіцієнтів:

Copy code
2   2   -2   10   -30   91

Отже, частка цього поділу дорівнює $2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 10x - 30$ і залишок дорівнює 91.

Тепер порівняємо залишок з отриманим за допомогою теореми Безу. Теорема Безу стверджує, що якщо ми ділимо поліном $f(x)$ на $x - a$, то залишок дорівнює значенню $f(a)$.

У нашому випадку $a = -3$, тому підставимо $x = -3$ у початковий поліном:

$2(-3)^5 + (-3)^4 - 5(-3)^3 + 4(-3)^2 + 1$

Обчислимо це значення:

$-486 + 81 + 405 + 36 + 1 = 37$

Отже, залишок, отриманий за допомогою теореми Безу, дорівнює 37, що співпадає з результатом, отриманим за допомогою схеми Горнера.