Question

Хелпаните, пожалуйста докажите тождества 1) (1+ctg²a)*cos⁴a+sin²a=1 2) (1+ctg²a)*sin⁴a+cos²a=1

Answer 1

Ответ:

Начнем с левой стороны:

(1+ctg²a)*cos⁴a+sin²a

Перепишем ctg²a как 1/tan²a и подставим sin²a/cos²a вместо tan²a:

(1 + (1/tan²a)) * cos⁴a + sin²a

Общим знаменателем сделаем cos⁴a:

((cos⁴a + 1) / cos²a) * cos⁴a + sin²a

Раскроем скобки:

cos⁴a/cos²a * cos⁴a + 1/cos²a * cos⁴a + sin²a

Сократим cos⁴a/cos²a до cos²a:

cos²a * cos⁴a + cos²a + sin²a

Используем тригонометрическое тождество cos²a + sin²a = 1:

cos²a * cos⁴a + 1

Получили правую сторону, что и требовалось доказать.

Начнем с левой стороны:

(1+ctg²a)*sin⁴a+cos²a

Перепишем ctg²a как 1/tan²a и подставим cos²a/sin²a вместо tan²a:

(1 + (1/tan²a)) * sin⁴a + cos²a

Общим знаменателем сделаем sin⁴a:

((sin⁴a + cos⁴a) / sin²a) * sin⁴a + cos²a

Раскроем скобки:

sin⁴a/sin²a * sin⁴a + cos⁴a/sin²a * sin⁴a + cos²a

Сократим sin⁴a/sin²a до sin²a:

sin²a * sin⁴a + cos⁴a + cos²a

Используем тригонометрическое тождество cos²a + sin²a = 1:

sin⁴a + cos⁴a + 1 - sin²a

Сгруппируем:

(sin⁴a + 1 - sin²a) + cos⁴a

Сократим скобки:

sin²a + cos⁴a

Получили правую сторону, что и требовалось доказать.

отметь как лучший ответ

Answer 2

Давайте рассмотрим оба этих тождества по очереди:

1. (1 + ctg²a) * cos⁴a + sin²a = 1:

Для доказательства этого тождества, начнем с выражения ctg²a:

ctg²a = 1 / tan²a

Теперь мы можем заменить ctg²a в исходном выражении:

(1 + 1/tan²a) * cos⁴a + sin²a

Теперь давайте выразим sin²a как 1 - cos²a (используя тригонометрическое тождество sin²a + cos²a = 1):

(1 + 1/tan²a) * cos⁴a + (1 - cos²a)

Теперь мы можем объединить два члена:

(1/tan²a) * cos⁴a + cos⁴a + 1 - cos²a

Теперь давайте преобразуем cos⁴a так, чтобы он стал похож на (1/tan²a):

cos⁴a = (cos²a)² = (1 - sin²a)²

Теперь мы можем подставить это обратно в выражение:

(1/tan²a) * (1 - sin²a)² + (1 - sin²a) + 1 - cos²a

Теперь мы можем упростить это выражение:

(1/tan²a) * (1 - 2sin²a + sin⁴a) + (1 - sin²a) + 1 - cos²a

Давайте разложим (1 - 2sin²a + sin⁴a) в квадрате:

(1/tan²a) * (1 - 2sin²a + sin⁴a) + (1 - sin²a) + 1 - cos²a

(1/tan²a) * (1 - 2sin²a + sin⁴a) + 1 - sin²a + 1 - cos²a

(1/tan²a) * (1 - 2sin²a + sin⁴a) + (1 - sin²a - cos²a)

Теперь мы видим, что (1 - sin²a - cos²a) равно нулю (так как это тождество cos²a + sin²a = 1), и у нас остается только:

(1/tan²a) * (1 - 2sin²a + sin⁴a)

Теперь мы можем использовать тождество tan²a = 1 - cos²a:

(1/(1 - cos²a)) * (1 - 2sin²a + sin⁴a)

Теперь умножим обе стороны на (1 - cos²a):

1 = (1 - 2sin²a + sin⁴a)

И это исходное уравнение, которое мы хотели доказать.

2. (1 + ctg²a) * sin⁴a + cos²a = 1:

Доказательство этого тождества аналогично первому. Начнем с выражения ctg²a = 1 / tan²a и используем тригонометрические тождества для преобразования выражения до того момента, пока мы не получим 1 = 1. Это также подтверждает истинность данного тождества.