Question

Знайти похідну функції: y=cos√x

Answer 1

$y = \cos \sqrt{x}$

$y '= ( \cos \sqrt{x} )' = - \sin x \times ( \sqrt{x} )' = \\ = - \sin x \times \frac{1}{2} \times {x} ^{ \frac{1}{2} - 1 } = \\ = - \frac{ \sin \sqrt{x} }{ 2\sqrt{x} }$

Answer 2

Щоб знайти похідну функції $y = \cos(\sqrt{x})$, використовуйте правило ланцюга. Правило ланцюга стверджує, що похідна складеної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції і похідної внутрішньої функції. У цьому випадку зовнішня функція - це $\cos(u)$, де $u = \sqrt{x}$, і внутрішня функція - це $u = \sqrt{x}$.

Похідна зовнішньої функції $\cos(u)$ відносно $u$ дорівнює $-\sin(u)$, і похідна внутрішньої функції $\sqrt{x}$ відносно $x$ дорівнює $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Зараз ми можемо застосувати правило ланцюга, щоб знайти похідну функції $y$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(-\sin(u)\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)$$

$$\frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Зараз підставимо $u = \sqrt{x}$ назад:

$$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Отже, похідна функції $y = \cos(\sqrt{x})$ відносно $x$ дорівнює:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$$