Question

В цилиндр втянута регулярная четырехугольная призма. Доказать соотношение объемов цилиндра и призмы

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Объем цилиндра

$\pi {r}^{2} h$

Объем призмы

${a}^{2} h$

Причём, по Пифагору

$4{r}^{2} = 2 {a}^{2} < = > 2 {r}^{2} = {a}^{2}$

Отношение объемов:

$\frac{\pi {a}^{2} h }{2 {a}^{2}h } = \frac{\pi}{2}$

Ч.т.д

Answer 2

Чтобы доказать соотношение объемов цилиндра и вложенной в него регулярной четырехугольной призмы, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами этих фигур.

Пусть радиус цилиндра равен R, высота цилиндра равна H, а сторона основания регулярной четырехугольной призмы равна a. Пусть также высота призмы (расстояние между основаниями призмы) равна h.

Объем цилиндра можно выразить формулой: V_цилиндра = π * R^2 * H

Объем регулярной четырехугольной призмы можно выразить формулой: V_призмы = A_основания * h

где A_основания - площадь основания призмы.

Рассмотрим основание призмы, которое является четырехугольником. Разобьем этот четырехугольник на два треугольника, проведя диагональ, которая соединяет противоположные вершины основания.

Сначала рассмотрим один из этих треугольников. Он будет прямоугольным, так как четырехугольник - регулярный. Длина одной стороны основания призмы a, а высота этого треугольника h (половина высоты призмы).

Площадь одного такого треугольника будет: A_треугольника = (1/2) * a * h

Так как в основании призмы два таких треугольника, общая площадь основания призмы будет: A_основания = 2 * A_треугольника = a * h

Теперь мы можем выразить объем призмы: V_призмы = A_основания * h = (a * h) * h = a * h^2

Теперь у нас есть выражения для объемов цилиндра и призмы: V_цилиндра = π * R^2 * H V_призмы = a * h^2

Для доказательства соотношения объемов, давайте сравним их:

V_цилиндра / V_призмы = (π * R^2 * H) / (a * h^2)

Теперь заметим, что высота цилиндра H и высота призмы h связаны следующим образом: h = 2R, так как высота призмы равна диаметру цилиндра.

Подставив это значение в наше соотношение: V_цилиндра / V_призмы = (π * R^2 * 2R) / (a * (2R)^2)

Упростим выражение: V_цилиндра / V_призмы = (2πR^3) / (4aR^2)

Упростим дальше: V_цилиндра / V_призмы = (πR) / (2a)

Таким образом, мы доказали соотношение объемов цилиндра и вложенной в него регулярной четырехугольной призмы: V_цилиндра / V_призмы = (πR) / (2a)