Question

Розв'язати нерівність (x+2)²< 13 - (x-3)²​

Answer 1

$(x + 2) {}^{2} < 13 - (x - 3) {}^{2} \\ {x}^{2} + 4x + 4$

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю нерівність:

(x + 2)² < 13 - (x - 3)²

Спростимо обидві сторони нерівності:

(x + 2)² < 13 - (x - 3)²

Розгорнемо квадрати:

(x + 2)(x + 2) < 13 - [(x - 3)(x - 3)]

Тепер помножимо кожен доданок всередині дужок:

(x² + 4x + 4) < 13 - (x² - 6x + 9)

Розкриємо дужки на правій стороні та згрупуємо подібні члени:

x² + 4x + 4 < 13 - x² + 6x - 9

Тепер додамо x² до обох сторін нерівності, щоб об'єднати подібні члени:

x² + x² + 4x + 4 < 13 - x² + x² + 6x - 9

Отримаємо:

2x² + 4x + 4 < 13 + 6x - 9

Посортуємо терміни:

2x² - 6x - 9 + 4 - 13 < 0

2x² - 6x - 18 < 0

Тепер давайте розв'яжемо цю квадратну нерівність. Спершу поділимо всі члени на 2:

x² - 3x - 9 < 0

Далі ми можемо використовувати метод інтервалів або графік функції, щоб знайти область розв'язку. Метод інтервалів буде простішим для цієї нерівності. Знайдемо корені квадратного рівняння, яке відповідає цій нерівності:

x² - 3x - 9 = 0

Розв'яжемо його за допомогою квадратного кореня:

x = (3 ± √(3² + 419)) / (2*1)

x = (3 ± √(9 + 36)) / 2

x = (3 ± √45) / 2

Таким чином, отримуємо два корені:

x₁ = (3 + √45) / 2 x₂ = (3 - √45) / 2

Тепер ми можемо побудувати таблицю інтервалів, використовуючи ці корені:

scssCopy code
     x < (3 - √45)/2        (3 - √45)/2 < x < (3 + √45)/2         x > (3 + √45)/2

──────────────────|───────────────────|───────────────────|───────────────────|──────── (-∞) x₁ x₂ x₃ (+∞)

Тепер оберемо один тестовий точки з кожного інтервалу і підставимо їх у початкову нерівність (x² - 3x - 9 < 0), щоб визначити, які інтервали задовольняють нерівність.

1. Для x < (3 - √45)/2 виберемо x = -1: (-1)² - 3*(-1) - 9 = 1 + 3 - 9 = -5, що є менше нуля.

2. Для (3 - √45)/2 < x < (3 + √45)/2 виберемо x = 0: (0)² - 3*(0) - 9 = -9, що є менше нуля.

3. Для x > (3 + √45)/2 виберемо x = 4: (4)² - 3*(4) - 9 = 16 - 12 - 9 = -5, що є менше нуля.

Отже, область розв'язку цієї нерівності - це інтервал: (3 - √45)/2 < x < (3 + √45)/2