Question

Упростите выражение: sin a + sin 3a cosa+cos3a​

Answer 1

Ответ:

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулы тригонометрии. Одна из таких формул - это формула для синуса суммы двух углов:

sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b

Мы также можем использовать формулу для синуса и косинуса тройного угла:

sin 3a = 3 sin a - 4 sin^3 a

cos 3a = 4 cos^3 a - 3 cos a

Используя эти формулы, мы можем переписать исходное выражение в следующем виде:

sin a + sin 3a cos a + cos 3a

= sin a + (3 sin a - 4 sin^3 a) cos a + (4 cos^3 a - 3 cos a)

= sin a + 3 sin a cos a - 4 sin^3 a cos a + 4 cos^3 a - 3 cos a

= 4 cos^3 a - 4 sin^3 a cos a + 3 sin a cos a - 2 cos a + sin a

Мы можем продолжить упрощение, группируя слагаемые:

= (4 cos^3 a - 4 sin^3 a cos a) + (3 sin a cos a + sin a - 2 cos a)

Для первой группы слагаемых мы можем использовать формулу синуса суммы кубов:

sin^3 a + cos^3 a = (sin a + cos a)(sin^2 a - sin a cos a + cos^2 a)

Применяя эту формулу, мы можем переписать первую группу слагаемых в виде:

4 cos^3 a - 4 sin^3 a cos a = 4 cos a sin^2 a = 4 cos a (1 - cos^2 a)

Теперь мы можем объединить первую группу слагаемых с второй:

= 4 cos a (1 - cos^2 a) + (3 sin a cos a + sin a - 2 cos a)

= 4 cos a - 4 cos^3 a + 3 sin a cos a + sin a - 2 cos a

= sin a + cos a + sin a cos a - 4 cos^3 a + cos a sin a

Таким образом, мы получили упрощенное выражение:

sin a + cos a + sin a cos a - 4 cos^3 a + cos a sin a.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические идентичности. Давайте начнем с применения формулы синуса суммы:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

В данном случае, мы можем представить выражение следующим образом:

sin(a) + sin(3a)cos(a) + cos(3a)

Теперь мы можем использовать эту формулу для выражения:

sin(3a)cos(a) + cos(3a) = sin(2a + a)cos(a) + cos(3a)

Теперь мы можем применить формулу синуса суммы к sin(2a + a):

sin(2a + a) = sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a)

И заметьте, что sin(2a) = 2sin(a)cos(a) и cos(2a) = 2cos^2(a) - 1:

2sin(a)cos(a)cos(a) + (2cos^2(a) - 1)sin(a)

Теперь у нас есть:

2sin(a)cos^2(a)cos(a) + 2cos^2(a)sin(a) - sin(a)

Мы можем выделить общий множитель sin(a):

sin(a)(2cos^2(a)cos(a) + 2cos^2(a) - 1)

Теперь мы можем упростить дальше, заметив, что 2cos^2(a) - 1 = cos(2a):

sin(a)(cos(2a)cos(a) + cos(2a) - 1)

Факторизуем cos(2a) из первых двух членов:

sin(a)cos(2a)(cos(a) + 1) - sin(a)

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

sin(a)cos(2a)(cos(a) + 1) - sin(a)

Это упрощенное выражение для исходного выражения sin(a) + sin(3a)cos(a) + cos(3a).