Question

Дано вершини трикутної піраміди ABCD, А(– 4; 2; 1), В (– 1; 5; 4), С(– 2; – 4; 5), D(1; 2; –7) Засобами векторної алгебри та аналітичної геометрії знайти площу грані АВС.

Answer 1

Ответ:   $\bf S_{ABC}=3\sqrt{42}$  .

Площадь грани АВС найдём как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС .

$\bf A(-4;2;1)\ ,\ B(-1;5;4)\ ,\ C(-2;-4;5)\\\\\overline{AB}=(3;3;3)\ \ ,\ \ \overline{AC}=(2;-6;4)\\\\\\{}[\overline{AB}\times \overline{AC}]=\left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&3&3\\2&-6&4\end{array}\right|=\overline{i}\, (12+18)-\overline{j}\, (12-6)+\overline{k}\, (-18-6)=\\\\\\=30\overline{i}-6\overline{j}-24\overline{k}\\\\|[\overline{AB}\times \overline{AC}]|=\sqrt{30^2+6^2+24^2}=\sqrt{1512}=6\sqrt{42}\\\\\\S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{42}=3\sqrt{42}$

Answer 2

Для знаходження площі грані трикутної піраміди ABCD, спершу потрібно знайти вектори, які лежать в площині цієї грані, а потім визначити їхню площу.

1. Знайдемо вектори AB і AC: Вектор AB = B - A = (-1 - (-4), 5 - 2, 4 - 1) = (3, 3, 3) Вектор AC = C - A = (-2 - (-4), -4 - 2, 5 - 1) = (2, -6, 4)

2. Зараз ми маємо два вектори, які лежать в площині грані ABC. Далі використаємо їх для знаходження площі грані.

3. Знайдемо векторний добуток векторів AB і AC: Векторний добуток AB × AC = |i j k | |3 3 3 | |2 -6 4 |

   = i((3 * 4) - (3 * -6)) - j((3 * 2) - (3 * 4)) + k((3 * -6) - (3 * 2))

   = i(12 + 18) - j(6 - 12) + k(-18 - 6)

   = i(30) + j(6) - k(24)

   = 30i + 6j - 24k

4. Тепер знайдемо модуль (довжину) цього векторного добутку: |AB × AC| = √((30)^2 + (6)^2 + (-24)^2) = √(900 + 36 + 576) = √1512

5. Тепер знайдемо площу грані ABC, використовуючи модуль векторного добутку і формулу для площі трикутника: Площа грані ABC = (1/2) * |AB × AC| = (1/2) * √1512 ≈ 19.56 квадратних одиниць.

Отже, площа грані ABC трикутної піраміди ABCD становить приблизно 19.56 квадратних одиниць.