Question

31. Какие из следующих множеств содержат все корни уравнения: x³ - 6x² +11x -6=0 A) {5:4;-2;7} B) {3;-2;0;6} C) {7:5;-1;4} D) {2:7;1;3} E) { 4;4;6;7} F) {5;7;6;8} G) {;-2;1;2} H) { 5;7;8;6} _

Answer 1

Для определения множества, содержащего все корни уравнения, нам нужно найти корни уравнения и проверить, содержатся ли они в каждом из предложенных множеств.

Данное кубическое уравнение имеет вид: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0.

Мы можем использовать различные методы для нахождения корней, включая пробное исчисление или формулы Виета. Однако, в данном случае можно заметить, что коэффициенты уравнения симметричны, и поэтому один из корней должен быть 1. Мы можем подставить 1 в уравнение и проверить его корректность:

1³ - 6(1)² + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0.

Таким образом, корень x = 1.

Теперь мы можем разделить уравнение на (x - 1) с использованием синтетического деления или другого метода. Это даст нам квадратное уравнение, которое мы сможем решить для остальных корней.

Выполнив синтетическое деление, мы получаем:

(x³ - 6x² + 11x - 6) / (x - 1) = x² - 5x + 6.

Факторизуя квадратное уравнение x² - 5x + 6 = 0, мы получаем (x - 2)(x - 3) = 0. Отсюда следуют ещё два корня: x = 2 и x = 3.

Таким образом, уравнение x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 имеет корни x = 1, x = 2 и x = 3.

Теперь давайте проверим каждое из предложенных множеств на наличие всех этих корней:

A) {5:4;-2;7} - В этом множестве отсутствуют корни 1, 2 и 3.
B) {3;-2;0;6} - В этом множестве отсутствует корень 1.
C) {7:5;-1;4} - В этом множестве отсутствует корень 1.
D) {2:7;1;3} - В этом множестве содержатся все корни 1, 2 и 3.
E) { 4;4;6;7} - В этом множестве отсутствуют корни 1, 2 и 3.
F) {5;7;6;8} - В этом множестве отсутствуют корни 1, 2 и 3.
G) {;-2;1;2} - В этом множеств

Answer 2

Для нахождения корней уравнения x³ - 6x² + 11x - 6 = 0, мы можем воспользоваться методом рациональных корней (теоремой о рациональных корнях). Согласно этой теореме, рациональные корни данного уравнения будут представлены в виде дробей, где числитель является делителем свободного коэффициента (в данном случае -6), а знаменатель - делителем старшего коэффициента (в данном случае 1).

Сначала найдем все делители числа -6: -6 имеет следующие делители: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Теперь найдем все делители старшего коэффициента 1: 1 имеет только два делителя: -1 и 1.

Теперь сформируем все возможные комбинации рациональных корней, где числитель - один из делителей -6, а знаменатель - один из делителей 1:

Возможные комбинации рациональных корней:

1. -6/1 = -6
2. 6/1 = 6
3. -3/1 = -3
4. 3/1 = 3
5. -2/1 = -2
6. 2/1 = 2
7. -1/1 = -1
8. 1/1 = 1

Теперь мы имеем список всех возможных рациональных корней этого уравнения. Проверим, какие из данных корней присутствуют в каждом из вариантов ответов:

A) {5/4; -2; 7} - нет всех корней B) {3; -2; 0; 6} - нет всех корней C) {7/5; -1; 4} - нет всех корней D) {2/7; 1; 3} - нет всех корней E) {4; 4; 6; 7} - нет всех корней F) {5; 7; 6; 8} - нет всех корней G) {-2; 1; 2} - нет всех корней H) {5; 7; 8; 6} - нет всех корней

Ни в одном из вариантов ответов не содержатся все корни уравнения x³ - 6x² + 11x - 6 = 0.