Question

Найти область значения функции f(x)=√1-cosx

Answer 1

Решение .

Область значений функции   $\bf y=\sqrt{1-cosx}$  .

Формула понижения степени   $\bf sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1-cosa}{2}\ \ \ \Rightarrow$  

$\bf 1-cosa=2\, sin^2\dfrac{a}{2}$  

Известно, что   $\bf \Big|\, sin\dfrac{a}{2}\, \Big|\leq 1$  ,  то есть  

$\bf -1\leq sin\dfrac{a}{2}\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0\leq sin^2\dfrac{a}{2}\leq 1\ \ \ ,\ \ \ 0\leq 2\, sin^2\dfrac{a}{2}\leq 2\ \ ,\\\\\\0\, \leq \sqrt{2\, sin^2\dfrac{a}{2}}\, \leq \sqrt2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0\, \leq \sqrt{1-cosx}\, \leq \sqrt2$        

Ответ:   $\boldsymbol{E(y)=[\ 0\ ;\ \sqrt2\ ]}$   .

Answer 2

Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sqrt{1 - \cos(x)}$, нужно определить, какие значения $f(x)$ она может принимать.

Заметим, что $0 \leq \cos(x) \leq 1$, так как косинусное значение ограничено диапазоном $[-1, 1]$. Следовательно, $0 \leq 1 - \cos(x) \leq 1$, и при взятии квадратного корня у нас остается $0 \leq \sqrt{1 - \cos(x)} \leq 1$.

Таким образом, область значений функции $f(x) = \sqrt{1 - \cos(x)}$ - это интервал $[0, 1]$. Функция принимает значения от 0 до 1 включительно.