Question

Найди интервалы монотонности функции f(x) = (7 + 10x ^ 2)/x Найти интервалы возрастания и убывания

Answer 1

Чтобы найти значения монотонности функции f(x) = (7 + 10x ^ 2) / x, нужно найти интервалы, где производная функции положительна, и интервалы, где производная функции отрицательна.

Производная функции f(x) равна:

f(x) = (10x - 14x^(-1)) / x^2

Теперь нужно найти значения x, где производная положительна, и значения x, где производная отрицательна.

f(x) > 0, когда 10x > 14x^(-1), то есть x < 5/7

f(x) < 0, когда 1 I 0 x < 14x^(-1), то есть x > 5/7

Следовательно, функция f(x) равна:

увеличение интервала (0, 5/7)

уменьшается с интервалом (5/7, +)

Итак, значения монотонности функции f(x) равны:

f(x) увеличивается на интервале (0, 5/7)

f(x) уменьшается на интервале (5/7, )

Наконец, интервалы подъема и спуска равны:

На интервале (0, 5/7) функция f(x) увеличивается

На интервале (5/7, +) функция f(x) уменьшается

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности функции $f(x) = \frac{7 + 10x^2}{x}$, нужно найти производную функции и определить знак этой производной на различных интервалах. Затем выясним, когда производная положительна (функция возрастает) и когда она отрицательна (функция убывает).

Сначала найдем производную $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{7 + 10x^2}{x}\right)$

Используем правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(7 + 10x^2) - (7 + 10x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$

Вычислим производные в числителе:

$\frac{d}{dx}(7 + 10x^2) = 20x$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$

Теперь подставим их обратно в производную:

$f'(x) = \frac{x \cdot (20x) - (7 + 10x^2) \cdot 1}{x^2}$

$f'(x) = \frac{20x^2 - (7 + 10x^2)}{x^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{20x^2 - 7 - 10x^2}{x^2}$

$f'(x) = \frac{10x^2 - 7}{x^2}$

Теперь мы имеем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{10x^2 - 7}{x^2}$

Чтобы найти интервалы монотонности, рассмотрим знак производной $f'(x)$.

1. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$\frac{10x^2 - 7}{x^2} = 0$

Умножим обе стороны на $x^2$:

$10x^2 - 7 = 0$

Теперь добавим 7 и поделим на 10:

$10x^2 = 7$

$x^2 = \frac{7}{10}$

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{10}}$

2. Теперь разберемся с знаками на интервалах между и вокруг этих точек:

• Если $x < -\sqrt{\frac{7}{10}}$, то $x^2 > \frac{7}{10}$, и знак числителя будет положительным, так как $10x^2 - 7 > 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$ на интервале $(-\infty, -\sqrt{\frac{7}{10}})$.

• Если $-\sqrt{\frac{7}{10}} < x < \sqrt{\frac{7}{10}}$