Question

9 Проходят ли прямые 2х+3y=20, 3x-5y=11 и х+у=9 через одну и ту же точку?

Answer 1

Із третього рівняння х+у=9 шукаємо х:
х=9-у
2•(9-у)+3у=20
18-2у+3у=20
у=2, тоді х=9-2=7
Тепер підставляємо у=2 в перше рівняння:
2х+3•2=20
2х+6=20
2х=20-6
2х=14
х=7
Тепер підставляємо у=2 в друге рівняння:
3х-5•2=11
3х-10=11
3х=11+10
3х=21
х=7
Значить, всі три прямі проходять через одну і ту ж точку – (7;2)

Answer 2

Для определения, проходят ли данные прямые через одну и ту же точку, нужно найти решение системы уравнений, которая состоит из этих трех уравнений.

Сначала перепишем уравнения в виде y = mx + b, где m - коэффициент наклона, а b - свободный член:

1. Уравнение 1: 2x + 3y = 20 Перепишем в виде: 3y = -2x + 20 y = (-2/3)x + 20/3

2. Уравнение 2: 3x - 5y = 11 Перепишем в виде: 5y = 3x - 11 y = (3/5)x - 11/5

3. Уравнение 3: x + y = 9 Перепишем в виде: y = -x + 9

Теперь у нас есть три уравнения в форме y = mx + b:

1. y = (-2/3)x + 20/3
2. y = (3/5)x - 11/5
3. y = -x + 9

Чтобы найти точку пересечения этих прямых, мы должны найти значения x и y, при которых все три уравнения выполняются одновременно. Для этого можно решить систему уравнений:

(-2/3)x + 20/3 = (3/5)x - 11/5 = -x + 9

Сначала найдем точку пересечения первых двух прямых:

(-2/3)x + 20/3 = (3/5)x - 11/5

Для упрощения умножим оба уравнения на 15, чтобы избавиться от дробей:

-10x + 100 = 9x - 33

Переносим все x на одну сторону:

-10x - 9x = -33 - 100 -19x = -133

Теперь делим обе стороны на -19, чтобы найти x:

x = (-133) / (-19) x = 7

Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти значение y, используя любое из уравнений. Давайте используем третье уравнение:

y = -x + 9 y = -7 + 9 y = 2

Таким образом, прямые 2x + 3y = 20, 3x - 5y = 11 и x + y = 9 проходят через точку (7, 2). Эта точка является их общей точкой пересечения.