Question

Найдите экстремумы функции y=x^3-х^2-x+3

Answer 1

Чтобы найти экстремумы функции, найдём производную и приравняем её к 0.

y = x ^ 3 - x ^ 2 - x + 3

y' = 3 * x ^ 2 - 2 * x - 1

3 * x ^ 2 - 2 * x - 1 = 0

D = 2 ^ 2 - 4 * (-1 * 3)

D = 4 + 12 = 16 = 4 ^ 2

x = (2 +- 4) / 6

Ответ: x є {-1/3; 1}.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^3 - x^2 - x + 3$, нам нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки). Затем мы будем исследовать знаки второй производной в этих точках, чтобы определить, является ли каждая из них локальным максимумом, минимумом или седловой точкой.

1. Найдем производную $y = x^3 - x^2 - x + 3$:

   $y' = 3x^2 - 2x - 1$.

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

   $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

   Для нахождения решений этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или другие методы. Решим его:

   $3x^2 - 2x - 1 = 0$

   Применяя квадратное уравнение, получаем:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   В данном случае $a = 3$, $b = -2$, и $c = -1$, поэтому:

   $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$

   Таким образом, получаем два решения:

   $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -1$.

3. Теперь нужно исследовать знаки второй производной $y''$ в этих точках, чтобы определить тип каждой критической точки:

   $y'' = 6x - 2$.

   a. Для $x = \frac{1}{3}$:

   $y''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.

   Значение второй производной равно нулю, что означает, что мы не можем сразу определить тип этой точки. Для дальнейшего анализа можно использовать третью производную или рассмотреть поведение функции в окрестности этой точки.

   b. Для $x = -1$:

   $y''(-1) = 6 \cdot (-1) - 2 = -6 - 2 = -8$.

   Значение второй производной отрицательно, что указывает на то, что это точка локального максимума.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка ($x = \frac{1}{3}$) и она может быть точкой перегиба. И есть одна критическая точка ($x = -1$), которая является локальным максимумом.

Давайте найдем соответствующие значения функции $y$ в этих точках:

Для $x = \frac{1}{3}$:

$y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 3 = -\frac{25}{27}$.

Для $x = -1$:

$y(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 3 = -1 - 1 + 1 + 3 = 2$