Question

Знайдіть найбільше і найменша значення функції у = f(x) на проміжку 1) f(x) = x^4 - 8x² + 3, [1,3]2)g(x)=x^3+3x^2+1, x € [-3,1]​

Answer 1

Ответ:

1) Щоб знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = x^4 - 8x² + 3 на проміжку [1, 3], спочатку визначимо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Похідна функції f(x) = x^4 - 8x² + 3:

f'(x) = 4x³ - 16x

Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0:

4x³ - 16x = 0

4x(x² - 4) = 0

x(x + 2)(x - 2) = 0

Отримуємо три критичні точки: x = -2, x = 0, x = 2.

Тепер визначимо значення функції f(x) в критичних точках та на кінцях проміжку [1, 3]:

f(1) = (1)^4 - 8(1)² + 3 = 1 - 8 + 3 = -4

f(3) = (3)^4 - 8(3)² + 3 = 81 - 72 + 3 = 12

f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)² + 3 = 16 - 32 + 3 = -13

f(0) = (0)^4 - 8(0)² + 3 = 3

Отже, найбільше значення функції на проміжку [1, 3] - це 12, а найменше значення -13.

2) Для функції g(x) = x^3 + 3x^2 + 1 на проміжку [-3, 1], ми також визначимо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Похідна функції g(x) = x^3 + 3x^2 + 1:

g'(x) = 3x² + 6x

Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння g'(x) = 0:

3x² + 6x = 0

3x(x + 2) = 0

x(x + 2) = 0

Отримуємо дві критичні точки: x = 0, x = -2.

Тепер визначимо значення функції g(x) в критичних точках та на кінцях проміжку [-3, 1]:

g(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 + 1 = -27 +

27 + 1 = 1

g(1) = (1)^3 + 3(1)^2 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

g(0) = (0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 1

g(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5

Отже, найбільше значення функції на проміжку [-3, 1] - це 5, а найменше значення - 27.

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функцій на заданих проміжках, спочатку знайдемо похідні цих функцій і розв'яжемо рівняння f'(x) = 0 та g'(x) = 0, щоб знайти критичні точки на цих проміжках. Потім обчислимо значення функцій в цих критичних точках та на кінцях проміжків для визначення найбільшого і найменшого значень.

1. Для функції f(x) = x^4 - 8x^2 + 3: Знайдемо похідну: f'(x) = 4x^3 - 16x

   Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 4x(x + 2)(x - 2) = 0

   Критичні точки: x = -2, x = 0, x = 2

   Тепер обчислимо значення функції в цих точках і на кінцях проміжка [1, 3]: f(1) = 1^4 - 81^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4 f(2) = 2^4 - 82^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13 f(3) = 3^4 - 8*3^2 + 3 = 81 - 72 + 3 = 12

   Значення функції на кінцях проміжка [1, 3] також важливі: f(1) = -4 f(3) = 12

   Найменше значення на цьому проміжку: -13 (в точці x = 2). Найбільше значення на цьому проміжку: 12 (в точці x = 3).

2. Для функції g(x) = x^3 + 3x^2 + 1: Знайдемо похідну: g'(x) = 3x^2 + 6x

   Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння g'(x) = 0: 3x^2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0

   Критичні точки: x = 0, x = -2

   Тепер обчислимо значення функції в цих точках і на кінцях проміжка [-3, 1]: g(-3) = (-3)^3 + 3*(-3)^2 + 1 = -27 + 27 + 1 = 1 g(-2) = (-2)^3 + 3*(-2)^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5 g(0) = 0^3 + 30^2 + 1 = 1 g(1) = 1^3 + 31^2 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

   Значення функції на кінцях проміжка [-3, 1] також важливі: g(-3) = 1 g(1) = 5

   Найменше значення на цьому проміжку: 1 (в точці x = -3 і x = 0). Найбільше значення на цьому проміжку: 5 (в точці x = -2 і x = 1).