Question

если a, b, c € N, a+b+c и a2+ b2+c2 числа будет на семь делится, то докажите что a4+b4+c4 будет делится на 7​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим различные случаи, когда сумма a^2 + b^2 + c^2 делится на 7. Затем мы докажем, что в каждом из этих случаев a^4 + b^4 + c^4 также делится на 7.

Воспользуемся методом проверки остатков:

1. Случай 1: a, b, c все равны 0 по модулю 7. Если a, b и c все равны 0 по модулю 7, то a^2, b^2 и c^2 также будут равны 0 по модулю 7, и сумма a^2 + b^2 + c^2 также будет равна 0 по модулю 7. Таким образом, a^4 + b^4 + c^4 также будет равно 0 по модулю 7.

2. Случай 2: a, b, c все равны 1 по модулю 7. Если a, b и c все равны 1 по модулю 7, то a^2, b^2 и c^2 также будут равны 1 по модулю 7. Сумма a^2 + b^2 + c^2 будет равна 3 по модулю 7, и a^4 + b^4 + c^4 будет равно 3^2 = 9 по модулю 7, что также равно 2 по модулю 7.

3. Случай 3: a, b, c не все равны 0 или 1 по модулю 7. В этом случае хотя бы одно из чисел a, b или c должно быть равно 2, 3, 4, 5 или 6 по модулю 7. Давайте рассмотрим каждое из этих значений:

   • Если одно из чисел a, b или c равно 2 по модулю 7, то его квадрат (a^2, b^2 или c^2) будет равен 4 по модулю 7. Остальные числа (если не равны 0 или 1 по модулю 7) будут равны 2, 3, 4, 5 или 6 по модулю 7, и их квадраты также будут равны одному из этих значений. Таким образом, сумма a^2 + b^2 + c^2 будет равна 4 плюс одно из значений 2, 3, 4, 5 или 6, что всегда делится на 7. Следовательно, a^4 + b^4 + c^4 также будет делиться на 7.

   • Если все числа a, b и c равны 3, 4, 5 или 6 по модулю 7, то их квадраты (a^2, b^2 и c^2) будут равны 2, 3, 4 или 1 по модулю 7. Таким образом, сумма a^2 + b^2 + c^2 будет равна одному из значений 2, 3, 4 или 1, что всегда делится на 7. Следовательно, a^4 + b^4 + c^4 также будет делиться на 7.

Таким образом, во всех возможных случаях, когда сумма a^2 + b^2 + c^2 делится на 7, число a^4 + b^4 + c^4 также делится на 7.