Question

33. Доведіть, що трикутник з вершинами А(2; 3), В(-2; 1), C(0;-3) рiвнобедрений прямокутний.​

Answer 1

Для доведення, що трикутник ABC є рівнобедреним прямокутним, нам потрібно перевірити дві умови: рівність довжин сторін і існування прямого кута між двома сторонами.

1. Перевірка рівності довжин сторін:

Спочатку знайдемо відстані між вершинами:

AB (довжина сторони AB) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] AB = √[(-2 - 2)² + (1 - 3)²] AB = √[(-4)² + (-2)²] AB = √[16 + 4] AB = √20 AB = 2√5

AC (довжина сторони AC) = √[(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²] AC = √[(0 - 2)² + (-3 - 3)²] AC = √[(-2)² + (-6)²] AC = √[4 + 36] AC = √40 AC = 2√10

BC (довжина сторони BC) = √[(x₂ - x₃)² + (y₂ - y₃)²] BC = √[(-2 - 0)² + (1 - (-3))²] BC = √[(-2)² + (1 + 3)²] BC = √[4 + 16] BC = √20 BC = 2√5

Тепер ми бачимо, що AB = BC, отже, сторони AB і BC рівні.

2. Перевірка існування прямого кута:

Для перевірки прямого кута між сторонами AB і BC, ми можемо обчислити їх вектори і перевірити, чи є їхні скалярні добутки рівні нулю.

Вектор AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) = (-2 - 2, 1 - 3) = (-4, -2) Вектор BC = (x₃ - x₂, y₃ - y₂) = (0 - (-2), -3 - 1) = (2, -4)

Тепер обчислимо їхні скалярні добутки:

AB · BC = (-4) * (2) + (-2) * (-4) = -8 + 8 = 0

Отже, скалярний добуток сторін AB і BC дорівнює нулю.

Це означає, що між сторонами AB і BC є прямий кут.

Отже, ми довели, що трикутник ABC є рівнобедреним прямокутним, оскільки його сторони AB і BC рівні, а прямий кут є між ними.