Question

Найти центр тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной кривыми. Сделать чертеж. x^2/16+y^2/9=1 X>=0 y>=0

Answer 1

Для нахождения центра тяжести плоской однородной фигуры сначала найдем площадь этой фигуры и координаты центра масс.

В данном случае у нас есть эллипс с уравнением x^2/16 + y^2/9 = 1, ограниченный в первом квадранте (x >= 0, y >= 0).

1. Найдем площадь этого эллипса. Площадь эллипса можно найти по формуле:

S = π * a * b,

где a и b - полуоси эллипса. В данном случае a = 4 (из уравнения x^2/16 = 1) и b = 3 (из уравнения y^2/9 = 1).

S = π * 4 * 3 = 12π.

2. Теперь найдем координаты центра масс. Для однородной фигуры центр масс можно найти как среднее арифметическое координат всех точек на фигуре. В данном случае, мы будем искать центр масс только в первом квадранте, так как он симметричен относительно обоих осей.

x̄ = (2/3) * a = (2/3) * 4 = 8/3,
ȳ = (2/3) * b = (2/3) * 3 = 2.

Таким образом, центр масс этой фигуры находится в точке (8/3, 2).

Теперь давайте построим чертеж:

1. Нарисуйте координатные оси x и y.
2. На координатных осях отметьте точку (8/3, 2).
3. Нарисуйте эллипс с полуосями 4 и 3 в первом квадранте, ограниченный кривой x^2/16 + y^2/9 = 1.

Таким образом, вы построите чертеж фигуры и укажете центр масс на нем.

Answer 2

Чтобы найти центр тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной кривыми $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$, нужно сначала выразить y через x из уравнения.

Из уравнения $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ получаем:

$\frac{y^2}{9} = 1 - \frac{x^2}{16}$

$y^2 = 9 - \frac{9x^2}{16}$

$y = \sqrt{9 - \frac{9x^2}{16}}$

Теперь мы можем найти площадь поверхности фигуры, ограниченной кривыми. Интеграл от $y$ по $x$ от 0 до 4 (поскольку $x \geq 0$ и максимальное значение $x$ равно 4 по условию) от $\sqrt{9 - \frac{9x^2}{16}}$ даёт площадь этой фигуры.

$S = \int_0^4 \sqrt{9 - \frac{9x^2}{16}} \, dx$

Теперь, чтобы найти координаты центра тяжести, нужно найти моменты площадей элементарных полосок $\Delta S$ относительно осей $x$ и $y$ и затем поделить на общую площадь $S$ фигуры.

Момент площади по оси $x$ можно найти следующим образом:

$M_x = \int_0^4 x \cdot \sqrt{9 - \frac{9x^2}{16}} \, dx$

Момент площади по оси $y$ равен нулю, так как фигура симметрична относительно оси $x$.

После вычисления моментов, координаты центра тяжести можно найти по формулам:

$x_c = \frac{M_x}{S}$

$y_c = \frac{M_y}{S}$

Затем вы можете построить чертеж, используя найденные координаты центра тяжести.