Question

Висота рівностороннього трикутника 12 см. Знайти площу вписаного і описаного круга

Answer 1

Ответ:

Відповідь: r=4 см, R=8см

Пояснення: Малюнок намалюй сам

Висоти рівностороннього трикутника співпадають з його бісектрисами та медианами. Та центри радіусів вписаного та описаного кола теж співпадають в такому трикутнику

Площу трикутника можна обчислити за такими формулами: 1)через висоту та 2) через прівпериметр та радіус вписаного кола

�

=

1

2

�

ℎ

;

�

=

�

�

,

�

=

3

�

2

1

2

�

ℎ

=

3

�

2

�

;

�

=

ℎ

3

S=

2

1

ah;

S=pr,p=

2

3a

2

1

ah=

2

3a

r;

r=

3

h

r=12:3=4(см)

h= R+r( для рівностороннього трикутника)

R= 2r

R=2*4=8см

Answer 2

Для знаходження площі вписаного і описаного круга рівностороннього трикутника, спершу знайдемо радіуси цих кіл.

Радіус вписаного круга (р):

У рівносторонньому трикутнику всі сторони та кути рівні між собою. Розглянемо один із кутів трикутника. Цей кут можна поділити пополам, отримавши два кути по 30 градусів кожен.

Таким чином, утворюється два прямокутних трикутника, в яких один гострокутний кут дорівнює 30 градусів. Отже, можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження радіусу вписаного круга.

Позначимо половину довжини однієї сторони трикутника (півбіч) як 'a'. За даними, сторона трикутника дорівнює 12 см, отже, a = 12 см / 2 = 6 см.

Також, позначимо радіус вписаного круга як 'r'. Знаємо, що тангенс кута 30 градусів дорівнює відношенню протилежної сторони до прилеглої, тобто:

$\tan(30^\circ) = \frac{r}{a}$

Підставимо відомі значення та розв'яжемо для 'r':

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{6}$

$r = 6 / \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \, \text{см}$

Радіус описаного круга (R):

Радіус описаного круга дорівнює половині довжини однієї сторони трикутника, оскільки цей круг описує трикутник, і всі вершини трикутника лежать на колі. Таким чином, радіус описаного круга дорівнює половині сторони трикутника:

$R = \frac{12 \, \text{см}}{2} = 6 \, \text{см}$

Тепер ми маємо радіус вписаного круга (r) і радіус описаного круга (R). Ми можемо знайти площу цих кіл за формулами:

Площа вписаного круга (S1):

$S1 = \pi \cdot r^2$

Підставимо значення радіусу вписаного круга:

$S1 = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = 12\pi \, \text{см}^2$

Площа описаного круга (S2):

$S2 = \pi \cdot R^2$

Підставимо значення радіусу описаного круга:

$S2 = \pi \cdot (6)^2 = 36\pi \, \text{см}^2$

Отже, площа вписаного круга дорівнює $12\pi \, \text{см}^2$, а площа описаного круга дорівнює $36\pi \, \text{см}^2$.