Question

У чотирикутнику АВСD, О - точка перетину діагоналей. АО = 12 см, ОС = 16 см. Через точку О проведено пряму паралельно стороні CD, яка перетинає сторону АD у точці Е. Відрізок AD = 14см, відрізок AE = 6 см. Доведіть, що відрізок АЕ = 6 см. (теорема Фалеса)

Answer 1

Відповідь:

6см

Покрокове пояснення:

розглянемо кут САД. Прямі ОЕ||СД й перетинають промені даного кута. За теоремою Фалеса АО:АС=АЕ:АД => АЕ=АО×АД/АС

АС=АО+ОС=12+16=28

АЕ=12×14/28=(2×6×14)/(2×14)=6 см

Answer 2

Теорема Фалеса стверджує, що якщо відрізок, який проведено через одну зі сторін трикутника і паралельно до іншої сторони, поділений вздовж цього відрізку, утворює пропорцію з відповідними сторонами трикутника, то ця пропорція зберігається в усій поділений стороні трикутника. У цьому завданні ми будемо використовувати теорему Фалеса для трикутника АЕС та прямокутника АВСD.

Ми знаємо, що АО = 12 см та ОС = 16 см, і пряма, проведена через точку О, паралельно стороні CD, перетинає сторону AD у точці Е. Далі, AD = 14 см та AE = 6 см.

Застосуємо теорему Фалеса для трикутника АЕС та прямокутника АВСD:

(1) ОС / ОА = CE / EA

Підставимо відомі значення:

(2) 16 см / 12 см = CE / 6 см

Спростимо:

(3) 4/3 = CE / 6 см

Тепер помножимо обидві сторони рівняння на 6 см, щоб знайти значення CE:

(4) CE = (4/3) * 6 см = 8 см

Отже, CE = 8 см.

Тепер ми вже знаємо довжину відрізка CE, і ми також знаємо, що AE = 6 см. Ми можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника ACE, оскільки це прямокутний трикутник:

AC^2 = AE^2 + CE^2

Підставимо відомі значення:

AC^2 = 6 см^2 + 8 см^2 AC^2 = 36 см^2 + 64 см^2 AC^2 = 100 см^2

Тепер візьмемо квадратний корінь обох сторін:

AC = √100 см AC = 10 см

Таким чином, AC = 10 см.

Ми показали, що AC = 10 см, і AE = 6 см, але також ми пам'ятаємо, що AD = 14 см. Тепер ми можемо встановити співвідношення між цими довжинами:

AD = AC + CD

14 см = 10 см + CD

CD = 14 см - 10 см CD = 4 см

Отже, CD = 4 см.

Ми вже довели, що CE = 8 см, AE = 6 см, і CD = 4 см, тому можемо побачити, що теорема Фалеса справджується:

CE / EA = CD / AD 8 см / 6 см = 4 см / 14 см

Це є пропорцією, тому теорема Фалеса справджується, і відрізок АЕ дійсно дорівнює 6 см.