Question

В олимпиаде взяли участие 46 учеников. Им было предложено решить 3 задачи. После подведения итогов выяснилось, что каждый из участников олимпиады решил хотя бы одну задачу. Первую и вторую задачи решили 11 участников, вторую и третью - 8 участников, первую и третью - 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не меньше половины участников. ( заранее спасибо)

Answer 1

Ответ:

Одну из задач решили не меньше половины участников.

Пошаговое объяснение:

Давайте воспользуемся методом противоречия, чтобы доказать, что хотя бы одну задачу решили не меньше половины участников.

Предположим обратное: допустим, что каждую из трех задач решили менее половины участников, то есть меньше чем 23 человека (половина от 46).

Рассмотрим количество участников, которые решили хотя бы одну задачу:

По условию, это как минимум 46 человек.

Рассмотрим количество участников, которые решили хотя бы две задачи:

Первую и вторую задачи решили 11 человек.

Вторую и третью задачи решили 8 человек.

Первую и третью задачи решили 5 человек.

Все три задачи решили 2 человека.

Если мы сложим эти четыре значения (11 + 8 + 5 + 2), то получим общее количество участников, которые решили хотя бы две задачи: 26 человек.

Теперь возьмем в расчет тех, кто решил все три задачи: 2 человека.

Если мы сложим количество участников, которые решили хотя бы одну задачу, и количество участников, которые решили хотя бы две задачи, то получим 46 + 26 = 72 человека.

Это число больше, чем общее количество участников (46), что противоречит исходному условию.

Answer 2

Давайте воспользуемся методом доказательства от противного (противоречия), чтобы доказать ваше утверждение.

Предположим, что ни одну из задач не решили более половины участников. Поскольку всего было 46 участников, то половина из них составляет 23 участника.

1. Первую задачу решило 11 участников, что меньше половины (11 < 23).

2. Вторую задачу решило 11 участников, что также меньше половины (11 < 23).

3. Третью задачу решило 8 участников, что, опять же, меньше половины (8 < 23).

4. Все три задачи решили только 2 участника, что также является меньшим числом, чем половина (2 < 23).

Теперь давайте сложим количество участников, которые решили каждую из задач: 11 (задача 1) + 11 (задача 2) + 8 (задача 3) + 2 (все три задачи) = 32.

Из этого следует, что суммарно 32 участника решили хотя бы одну задачу. Однако у нас есть 46 участников в олимпиаде, и мы предположили, что каждый из них решил хотя бы одну задачу. Это противоречие.

Таким образом, наше предположение о том, что ни одну из задач не решили более половины участников, неверно. По крайней мере, одну из задач решили не меньше половины участников.