Question

Приведите пример нахождения градиента и производной по направлению вектора.

Answer 1

  Для нахождения производной по направлению применяем формулу

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию и найдем градиент и производную по направлению вектора.

Пусть у нас есть функция f(x, y) = x^2 + 2y^2, и мы хотим найти градиент этой функции в точке (1, 2) и производную по направлению вектора (3, 4).

1. Градиент функции f(x, y): Градиент функции f(x, y) представляет собой вектор, состоящий из частных производных функции по каждой из переменных x и y. Градиент можно записать следующим образом: ∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

Теперь найдем частные производные функции f(x, y): ∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 4y

Теперь подставим значения x = 1 и y = 2: ∂f/∂x = 2 * 1 = 2 ∂f/∂y = 4 * 2 = 8

Таким образом, градиент функции f(x, y) в точке (1, 2) равен (∇f(1, 2)) = (2, 8).

2. Производная по направлению вектора (3, 4): Чтобы найти производную функции f(x, y) по направлению вектора (3, 4), мы используем следующую формулу:

df/dl = ∇f(x, y) * v

Где ∇f(x, y) - градиент функции, v - единичный вектор направления.

Единичный вектор направления v можно найти, нормируя вектор (3, 4), чтобы его длина стала равной 1: v = (3/5, 4/5)

Теперь вычислим производную по направлению: df/dl = ∇f(1, 2) * v = (2, 8) * (3/5, 4/5) = (2 * 3/5, 8 * 4/5) = (6/5, 32/5)

Таким образом, производная функции f(x, y) по направлению вектора (3, 4) в точке (1, 2) равна (6/5, 32/5).