Question

Как решить это биквадратное уравнение? x 4-(√5+√3)x2+√15=0 Помогите пожалуйста!

Answer 1

$x^4-( \sqrt{5} + \sqrt{3} )x^2+ \sqrt{15} =0\\\\t:=x^2 \geq 0\\\\t^2-( \sqrt{5} + \sqrt{3} )t^2+ \sqrt{15} =0\\\\D=( \sqrt{5} + \sqrt{3} )^2-4 \sqrt{15} =5+2 \sqrt{15} +3-4 \sqrt{15} =5-2 \sqrt{15} +3 \\\\t_1=\dfrac{( \sqrt{5} + \sqrt{3})- \sqrt{( \sqrt{5} - \sqrt{3})^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}- ( \sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} \\\\= \sqrt{3} ;\quad t_2= \sqrt{5} \\\\x_1= \pm\sqrt[4]{3} ;\quad x_2= \pm\sqrt[4]{5}$

Answer 2

Давайте решим это биквадратное уравнение шаг за шагом.

Обозначим $y = x^2$, тогда у нас получится квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})y + \sqrt{15} = 0.$

Далее, воспользуемся квадратным уравнением:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

где $a = 1$, $b = -(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ и $c = \sqrt{15}$.

Теперь вычислим $b^2 - 4ac$:

$b^2 - 4ac = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{15}.$

$= 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 60$

$= -52 + 2\sqrt{15}.$

Так как $b^2 - 4ac$ отрицательное, у нас нет действительных корней.

Это означает, что у исходного уравнения $y^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})y + \sqrt{15} = 0$ нет действительных корней.

Вернемся к исходному уравнению, заменяя $y$ обратно на $x^2$. Поскольку у нас нет действительных корней, данное биквадратное уравнение также не имеет действительных корней.