Question

Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при деление на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. Получается некое трёхзначное число и, вероятно, последняя цифра 0 или 5. Как дальше рассуждать?

Answer 1

Пусть число $X$ представлено в виде:
$X = 100a + 10b + c$

Тогда имеем:
$X \equiv 2b + c \quad \pmod 4$
$X \equiv 10a + 10b + c \quad \pmod {15}$

Получается система уравнений:
$\begin{cases} 10a + 10b + c + 15n = 2b + c + 4k, \\ \\ c = \dfrac{a + b}{2}, \\ \\ 0 < a, \: b \leqslant 9, \quad 0 \leqslant c \leqslant 9 \end{cases}$

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Пусть трехзначное число имеет вид "ABC", где A - первая цифра, B - вторая цифра, C - третья цифра.

Условия задачи:

1. При делении на 4 и на 15 даются равные ненулевые остатки.
2. Первая справа цифра является средним арифметическим двух других цифр.

Сначала рассмотрим первое условие:

При делении на 4 число должно давать остаток 1 или 2, так как если остаток был бы 0, то число было бы кратным 4, а если остаток был бы 3, то число было бы кратным 15. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. Остаток при делении на 4 равен 1.
2. Остаток при делении на 4 равен 2.

Далее, рассмотрим второе условие:

Первая справа цифра (C) является средним арифметическим двух других цифр (A и B). Это означает, что:

C = (A + B) / 2

Теперь у нас есть два случая для остатка при делении на 4 и соответствующих значения для C:

1. Остаток при делении на 4 равен 1: В этом случае возможны следующие значения для A, B и C:

   • A = 2, B = 3, C = 2. Такое число - 232.
   • A = 6, B = 7, C = 6. Такое число - 676.

2. Остаток при делении на 4 равен 2: В этом случае возможны следующие значения для A, B и C:

   • A = 1, B = 2, C = 1. Такое число - 121.
   • A = 5, B = 6, C = 5. Такое число - 565.

Итак, четыре трехзначных натуральных числа, которые удовлетворяют условиям задачи, это 232, 676, 121 и 565.