Question

При каких целых значениях а  уравнение соsx +3sinx/2=2a+1  имеет решение? Выберите один ответ: 1. -1, 0 2. -2, -1 3. -2,-1,0 4. 1, 2

Answer 1

Cosx + 3sin(x/2) =2a+1 ;
1-2sin²(x/2)+3sin(x/2) =2a+1;
2sin²(x/2) - 3sin(x/2) + 2a = 0 ;
обозначим :    sin(x/2) = t ;
2t² - 3t +2a =0;
Во первых ,  дискриминант должен быть неотрицателен т.е. 
 D = 3²  - 4*2*2a ≥ 0  ==> a ≤ 9/16;
Во вторых , должно выполняться хотя бы одно из неравенств  | t₁ | ≤ 1 , | t₂ | ≤1
t₁ =(3 + sqrt(9 - 16a))/4    t₂  =  (3  - sqrt(9 - 16a))/4  
 a)  - 1 ≤ (3 + sqrt(9 - 16a))/4 ≤ 1  ==>  -4 ≤ 3 + sqrt(9 - 16a)  ≤ 4 ==>
 -7 ≤  sqrt(9 - 16a)  ≤ 1 ==>    0 ≤ sqrt( 9 -16a)  ≤ 1 ==> 0 ≤  9 -16a  ≤ 1  ==>   1/2  ≤ a ≤ 9/16 ;
a ∈  [ 1/2  ; 9/16 ]   нет целых чисел ; 
 или 
b)  - 1 ≤ (3 - sqrt(9 - 16a))/4 ≤ 1 ;
- 4  ≤ (3 - sqrt(9 - 16a)  ≤ 4 ;
  - 7  ≤ - sqrt(9 - 16a)  ≤  1 ;
   - 1 ≤  sqrt(9 - 16a)  ≤  7 ;
0 ≤ sqrt(9-16a) ≤ 7 ; 
0 ≤ 9-16a  ≤ 49  ;
- 49 ≤ 16a -9 ≤ 0 
-40 ≤ 16а ≤ 9
- 5/2 ≤ a ≤ 9/16;
a ∈  [ - 5/2  ; 9/16 ]     целые  значения   a =  { - 2 ; -1 ; 0 } ;  


ответ :     3).

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

$\sin(x) + \frac{3}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 2a + 1$

Чтобы определить, при каких целых значениях a это уравнение имеет решение, давайте рассмотрим его графически.

Если мы построим графики функций $\sin(x)$ и $\frac{3}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$, то мы увидим, что обе они колеблются между -1 и 1. Таким образом, сумма этих функций также будет колебаться между $-1 + \frac{3}{2}(-1) = -\frac{5}{2}$ и $1 + \frac{3}{2}(1) = \frac{5}{2}$.

Итак, уравнение можно переписать следующим образом:

$-\frac{5}{2} \leq 2a + 1 \leq \frac{5}{2}$

Выразим a:

$-\frac{5}{2} - 1 \leq 2a \leq \frac{5}{2} - 1$

$-\frac{7}{2} \leq 2a \leq \frac{3}{2}$

$-\frac{7}{4} \leq a \leq \frac{3}{4}$

Теперь мы видим, что целочисленные значения a, при которых уравнение имеет решение, находятся между -2 и 0 включительно, а также между -1 и 1 включительно. Таким образом, правильный ответ - 3. -2, -1, 0.