Question

Помогите 8sin20 * cos40 * cos80 = 1 доказать тождество

Answer 1

Домножим все на cos20, получим:

8sin20 * cos20 * cos40 * cos80 = cos20. Т.к. 2*sin20*cos20=sin40, тогда:

4*sin40*cos40*cos80=cos20. Т.к. 2*sin40*cos40=sin80, то: 2*sin80*cos80=cos20. Получили, что: sin160=cos20. Вообще говоря, sin160=sin(180-20)=sin20. Очевидно, что равенство sin20=cos20 не верно, значит в исходном условии была опечатка. Если бы напечатали: 8*cos20*cos40*cos80=1, то домножив все на sin20, выполняя схожие действия мы бы пришли к равенству sin160=sin20, что верно ))

Answer 2

Для доказательства данного тождества можно воспользоваться тригонометрическими идентичностями и свойствами тригонометрических функций.

Исходное тождество: 8sin(20°) * cos(40°) * cos(80°) = 1

1. Начнем с угловых идентичностей: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

2. Применим их к каждому из углов:

sin(40°) = 2sin(20°)cos(20°) cos(80°) = 2cos(40°)cos(40°)

3. Теперь вставим эти идентичности обратно в исходное тождество:

8sin(20°) * 2sin(20°)cos(20°) * 2cos(40°)cos(40°) = 1

4. Упростим:

32sin(20°) * sin(20°)cos(20°)cos(40°)cos(40°) = 1

5. Обратим внимание на следующее тригонометрическое тождество:

sin(2θ)cos(θ)cos(θ) = 1/4sin(4θ)

Применим его:

32 * 1/4sin(4 * 20°) = 1

6. Упростим выражение:

8sin(80°) = 1

7. Теперь выразим sin(80°) как sin(180° - 100°):

sin(80°) = sin(180° - 100°) = sin(100°)

8. Осталось разделить обе стороны на 8:

sin(100°) = 1/8

Таким образом, мы доказали тождество:

8sin(20°) * cos(40°) * cos(80°) = 1.