Question

Решите логарифмическое уравнение: 〖log〗_3(x+3)= 〖log〗_3(2x^2-4)- 〖log〗_3x

Answer 1

$\log_3(x+3)+\log_3x=\log (2x^2-4);\\ \left \{ \begin{array}{^} \log_3(x^2+3x)=\log_3(2x^2-4);\\ x>0; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{^} x^2+3x=2x^2-4;\\ x>0;\\ 2x^2-4>0; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{^} x^2-3x-4=0;\\ x>\sqrt2; \end{array} \right.$
В последней системе из первого уравнения получаем два корня: (-1) и 4. -1 не подходит из-за ограничения x>√2 (получается логарифм от отрицательного числа), 4 - подходит.
Ответ: 4.

Answer 2

Для решения логарифмического уравнения вида:

$\log_a(b) = \log_a(c) - \log_a(d)$

Мы можем использовать свойства логарифмов. В данном случае, мы можем объединить правую часть уравнения в один логарифм с делением:

$\log_3(x+3) = \log_3\left(\frac{2x^2-4}{x}\right)$

Теперь, используя свойство логарифма, согласно которому $\log_a(b) = \log_a(c)$ эквивалентно $b = c$, мы можем записать:

$x + 3 = \frac{2x^2 - 4}{x}$

Далее, давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны уравнения на $x$:

$x(x + 3) = 2x^2 - 4$

Теперь раскроем скобки:

$x^2 + 3x = 2x^2 - 4$

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения:

$(x - 4)(x + 1) = 0$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $x$:

1. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
2. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Итак, уравнение имеет два решения: $x = 4$ и $x = -1$.