Question

1 + log2 (9x 2 + 5) = log√ 2 √ 8x 4 + 14 . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (−1; 8/9) .

Answer 1

$1+\log_2(9x^2+5)=\log_{\sqrt2}\sqrt{8x^4+14}\\\log_22+\log_2(9x^2+5)=\log_{2^{\frac12}}(8x^4+14)^\frac12\\\log_2(2\cdot(9x^2+5))=2:\frac12\log_2(8x^4+14)\\\log_2(18x^2+10)=\log_2(8x^4+14)\\18x^2+10=8x^4+14\\8x^4-18x^2+4=0\\4x^4-9x^2+2=0\\x^2=t,\;x^4=t^2,\;t\geq0\\4t^2-9t+2=0\\D=81-4\cdot4\cdot2=49\\t_{1,2}=\frac{9\pm7}{8}\\t_1=\frac14,\;t_2=2\\\\x^2=\frac14\Rightarrow\begin{cases}x_1=-\frac12\\x_2=\frac12\end{cases}\\x^2=2\Rightarrow\begin{cases}x_1=-\sqrt2\\x_2=sqrt2\end{cases}$
$x\in\left(-1;\;\frac89\right)\Rightarrow x_1=-\frac14,\;x_2=\frac14$

Ответ: -1/4, 1/4.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Ваше уравнение выглядит следующим образом:

1 + log2(9x^2 + 5) = log(√2√(8x^4 + 14))

Для начала, преобразуем обе стороны уравнения, чтобы избавиться от логарифмов. Используем свойство логарифмов, которое позволяет перемещать коэффициенты перед логарифмами в степень аргумента:

log2(9x^2 + 5) = log(√2√(8x^4 + 14)) - 1

Теперь преобразуем выражение под логарифмом во втором члене уравнения.

√2√(8x^4 + 14) = √(2 * 2 * 4 * x^4 + 2 * 7) = √(8x^4 + 14)

Теперь у нас есть:

log2(9x^2 + 5) = log(√(8x^4 + 14)) - 1

Теперь используем свойство равенства логарифмов: если два логарифма с одним и тем же основанием равны, то их аргументы тоже равны:

9x^2 + 5 = √(8x^4 + 14)

Теперь давайте переносить все члены уравнения на одну сторону, чтобы у нас было квадратное уравнение:

9x^2 + 5 - √(8x^4 + 14) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, и мы можем попытаться решить его. Однако, оно довольно сложное, и для поиска корней потребуется численное решение с использованием методов численного анализа, таких как метод Ньютона или бисекции.

Вы можете использовать программу или калькулятор для численного решения этого уравнения на заданном интервале (-1, 8/9) и найти все корни, удовлетворяющие этому условию.