Question

Пусть точки K и P треугольника АВС симметричны основанию Н высоты ВН относительно его сторон АВ и АС соответственно. Докажите что точки пересечения отрезка КР со сторонами АВ и ВС (или их продолжениями) основания высот треугольника АВС.

Answer 1

КB и CP думаю так должно быть

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим следующую ситуацию:

1. Пусть у нас есть треугольник ABC, и H - его высота, проведенная из вершины A.

2. Точка K - симметричная точке B относительно стороны AC. Это означает, что отрезок BK имеет равную длину относительно отрезка KC и что угол BKC равен углу BAC.

3. Точка P - симметричная точке C относительно стороны AB. Это означает, что отрезок CP имеет равную длину относительно отрезка PB и что угол CPB равен углу CAB.

Теперь мы хотим доказать, что отрезок KR пересекает стороны AB и BC (или их продолжения) в точках, лежащих на основании высоты BH и CH соответственно.

Давайте рассмотрим отрезок KR. У нас есть два треугольника: треугольник BKC и треугольник CPB.

В треугольнике BKC:

• Угол BKC равен углу BAC (по симметрии точки K).
• Отрезок BK равен отрезку KC (по симметрии точки K).

В треугольнике CPB:

• Угол CPB равен углу CAB (по симметрии точки P).
• Отрезок CP равен отрезку PB (по симметрии точки P).

Теперь рассмотрим отрезок KR. Из угловой стороны треугольника BKC и треугольника CPB видно, что эти два треугольника подобны по углам (по признаку AA).

Это означает, что соответствующие стороны треугольника BKC и треугольника CPB пропорциональны. То есть отношение длины отрезка KR к длине отрезка KC равно отношению длины отрезка KR к длине отрезка PB.

Из этого следует, что отрезок KR пересекает сторону BC (или ее продолжение) в точке H (основание высоты BH), так как отношение длины отрезка KR к длине отрезка KC равно отношению длины отрезка KR к длине отрезка PB. Точно так же отрезок KR пересекает сторону AB (или ее продолжение) в точке H (основание высоты CH).

Таким образом, отрезок KR пересекает стороны AB и BC (или их продолжения) в точках, лежащих на основаниях высот BH и CH соответственно, что и требовалось доказать.