Question

Исследование свойств функции и построение графика f(x)=x^2/x+1

Answer 1

График, исследование функции и таблица координат точек для построения графика приведены в приложении.

Answer 2

Для исследования свойств функции f(x) = x^2 / (x + 1) и построения ее графика, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем область определения функции: Функция f(x) имеет ограничение в знаменателе (x + 1). Таким образом, область определения f(x) будет всеми значениями x, кроме -1. То есть D(f) = (-∞, -1) ∪ (-1, +∞).

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • Для оси x: Устанавливаем f(x) = 0 и решаем уравнение x^2 / (x + 1) = 0. Это уравнение имеет один корень при x = 0.
   • Для оси y: Устанавливаем x = 0 и находим f(0) = 0^2 / (0 + 1) = 0.

3. Найдем производную функции f(x) и определим интервалы возрастания и убывания: f'(x) = [ (x + 1)(2x) - (x^2)(1) ] / (x + 1)^2 f'(x) = (2x + 2x - x^2) / (x + 1)^2 f'(x) = (4x - x^2) / (x + 1)^2

   Для нахождения интервалов возрастания и убывания рассмотрим знак производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), и (0, +∞):

   • Для интервала (-∞, -1): Подставляем x < -1 в f'(x): f'(-2) = (4*(-2) - (-2)^2) / (-2 + 1)^2 = (-8 - 4) / 1 = -12 < 0 Таким образом, функция убывает на этом интервале.

   • Для интервала (-1, 0): Подставляем -1 < x < 0 в f'(x): f'(-0.5) = (4*(-0.5) - (-0.5)^2) / (-0.5 + 1)^2 = (-2 + 0.25) / 0.25 = -7.75 < 0 Таким образом, функция убывает на этом интервале.

   • Для интервала (0, +∞): Подставляем x > 0 в f'(x): f'(1) = (4*1 - 1^2) / (1 + 1)^2 = (4 - 1) / 4 = 3/4 > 0 Таким образом, функция возрастает на этом интервале.

4. Найдем точки экстремума: Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: (4x - x^2) / (x + 1)^2 = 0

   Далее, можно упростить уравнение: x(4 - x) / (x + 1)^2 = 0

   Получаем два значения x: x = 0 и x = 4. Однако, x = 4 не входит в область определения функции, поэтому у нас есть одна точка экстремума при x = 0.

5. Найдем вторую производную функции f(x) для определения типа точки экстремума: f''(x) = [(4 - x)(x + 1)^2 - 2(x(4 - x)(x + 1))] / (x + 1)^4 f''(x) = [(4 - x)(x + 1) - 2x(4 - x)] / (x + 1)^3 f''(x) = [(4x + 4 - x^2 - x) - (8x - 2x^2)] / (x + 1)^3 f''(x) = (-3x^2 + 4) / (x + 1)^3

   Подставляем x = 0: f''(0) = (-3*0^2 + 4) / (0 + 1)^3 = 4 > 0

   Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке (0, 0).

6. Найдем границы вертикальной асимптоты: Границы вертикальной асимптоты можно найти, когда знаменатель равен нулю: x + 1 = 0 x = -1

   Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота в x = -1.

7. Найдем пределы на бесконечности: Чтобы найти пределы на бесконечности, рассмотрим пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности:

   • Предел при x → +∞: lim (x → +∞) f(x) = lim (x → +∞) (x^2 / (x + 1)) Это бесконечно большое деление на бесконечно большее число, поэтому предел равен бесконечности.

   • Предел при x → -∞: lim (x → -∞) f(x) = lim (x → -∞) (x^2 / (x + 1)) Это бесконечно большое деление на бесконечно маленькое число, поэтому предел равен 0.

Теперь мы можем построить график функции f(x) = x^2 / (x + 1), учитывая полученные результаты:

• График будет симметричным относительно вертикальной асимптоты x = -1.
• Есть точка пересечения с осью x в точке (0, 0).
• Есть локальный минимум в точке (0, 0).
• Функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (-1, 0), и возрастает на интервале (0, +∞).
• При x → +∞, функция стремится к бесконечности, а при x → -∞, функция стремится к 0.

График можно построить, используя эти сведения. Обратите внимание, что он будет иметь вертикальную асимптоту в x = -1 и точку пересечения с осью x в (0, 0), а также будет убывать слева от x = -1 и возрастать справа от x = -1.