Question

Решите в целых числах уравнение: 4x^2-y^2=15

Answer 1

4x^2-y^2=15
(2x-y)(2x+y)=15
Решение этого уравнения в целых числах нужно искать среди двух вариантов:
1) 2x-y=1, 2x+y=15
2) 2x-y=3, 2x+y=5.
Вар. 1.
2x-y=1, 2x+y=15
х=4, y=7
Вар. 2.
2x-y=3, 2x+y=5
x=2, y=1
Ответ: (4;7), (2;1)

Answer 2

Для решения уравнения 4x^2 - y^2 = 15 в целых числах, мы можем воспользоваться методом разности квадратов. Сначала перепишем уравнение:

4x^2 - y^2 = 15.

Теперь разложим левую сторону уравнения как разность квадратов:

(2x)^2 - y^2 = 15.

Теперь мы видим, что у нас есть разность двух квадратов, которую можно разложить так:

(2x + y)(2x - y) = 15.

Теперь нам нужно разделить число 15 на все возможные пары множителей (2x + y) и (2x - y) и проверить, существуют ли целочисленные решения.

15 = 1 * 15 = 3 * 5 = (-1) * (-15) = (-3) * (-5)

Теперь нам нужно рассмотреть все возможные комбинации значений (2x + y) и (2x - y) для каждого из этих делителей.

1. 2x + y = 1 и 2x - y = 15: Решаем систему уравнений: 2x + y = 1 2x - y = 15

   Сложим оба уравнения: 4x = 16 x = 4

   Подставим значение x в первое уравнение: 2*4 + y = 1 8 + y = 1 y = -7

2. 2x + y = 3 и 2x - y = 5: Решаем систему уравнений: 2x + y = 3 2x - y = 5

   Сложим оба уравнения: 4x = 8 x = 2

   Подставим значение x в первое уравнение: 2*2 + y = 3 4 + y = 3 y = -1

3. 2x + y = -1 и 2x - y = -15: Решаем систему уравнений: 2x + y = -1 2x - y = -15

   Сложим оба уравнения: 4x = -16 x = -4

   Подставим значение x в первое уравнение: 2*(-4) + y = -1 -8 + y = -1 y = 7

4. 2x + y = -3 и 2x - y = -5: Решаем систему уравнений: 2x + y = -3 2x - y = -5

   Сложим оба уравнения: 4x = -8 x = -2

   Подставим значение x в первое уравнение: 2*(-2) + y = -3 -4 + y = -3 y = 1

Итак, мы нашли четыре целых числовых решения для уравнения 4x^2 - y^2 = 15:

1. x = 4, y = -7
2. x = 2, y = -1
3. x = -4, y = 7
4. x = -2, y = 1