Question

ПРОИЗВОДНАЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ФУНКЦИИ y=((x-1)^3)/x^2 (расписать подробно)

Answer 1

Y=(x-1)³/x²=(x³-3x²+3x-1)/x²=x-3+3/x-1/x²
y`=1-0-3/x²+2/x³=1-3/x²+2/x³
y``=0+6/x³-6/x^4=6/x³-6/x^4
 

Answer 2

Давайте найдем производные первого и второго порядка для функции $y = \frac{(x - 1)^3}{x^2}$.

Сначала найдем производную первого порядка (производную функции по $x$). Для этого применим правило производной частного:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{(x - 1)^3}{x^2}\right) = \frac{(x^2 \cdot \frac{d}{dx}((x - 1)^3) - (x - 1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2))}{(x^2)^2}$$

Теперь найдем производные $(x - 1)^3$ и $x^2$:

1. $\frac{d}{dx}((x - 1)^3)$: Используем правило степенной функции и правило цепной дифференциации:

   $$\frac{d}{dx}((x - 1)^3) = 3(x - 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x - 1) = 3(x - 1)^2$$

2. $\frac{d}{dx}(x^2)$: Просто применяем правило степенной функции:

   $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Теперь мы можем подставить эти значения в нашу производную:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{(x - 1)^3}{x^2}\right) = \frac{(x^2 \cdot 3(x - 1)^2 - (x - 1)^3 \cdot 2x)}{x^4}$$

Далее упростим эту производную:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{(x - 1)^3}{x^2}\right) = \frac{3x^2(x - 1)^2 - 2x(x - 1)^3}{x^4}$$

Теперь найдем производную второго порядка, то есть производную от производной:

$$\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{(x - 1)^3}{x^2}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2(x - 1)^2 - 2x(x - 1)^3}{x^4}\right)$$

Для этой задачи также пригодится правило частной производной. Сначала найдем производную числителя и знаменателя:

1. Производная числителя:

   $$\frac{d}{dx}(3x^2(x - 1)^2 - 2x(x - 1)^3) = 6x(x - 1)(x - 1)^2 - 2(x - 1)^3 - 2x(x - 1)^2$$

2. Производная знаменателя:

   $$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$$