Question

Сума модулей корней квадратного уравнения 4x²+kx-3=0 равно 2, при этом модуль отрицательного корня больше от положительного. Найти k

Answer 1

$4x^2+kx-3=0$
$|x_1|+|x_2|=2; x_10; |x_1|>|x_2|$
по теореме Виета
$x_1x_2=-\frac{3}{4}; x_1+x_2=-\frac{k}{4}$
---------------
$(|x_1|+|x_2|)^2=|x_1|^2+2|x_1||x_2|+|x_2|^2=$
$x^2_1+2|x_1x_2|+x^2_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|=2^2=4$
$(-\frac{k}{4})^2-2*(-\frac{3}{4})+2*|-\frac{3}{4}|=\frac{k^2}{16}+3=4$
$k^2=16=4^2$
$k_1=4; k_2=-4$
--------------------
рассмотрим первый случай
$k=4$
$4x^2+4x-3=0$
$D=4^2-4*4*(-3)=64=8^2$
$x_1=\frac{-4-8}{2*4}=-\frac{3}{2}$
$x_2=\frac{-4+8}{2*4}>\frac{1}{2}>0$
$|x_1|>|x_2|$ - подходит
--------
рассмотрим второй случай
$k=-4$
$4x^2-4x-3=0$
$D=(-4)^2-4*4*(-3)=64=8^2$
$x_1=\frac{4-8}{2*4}=-\frac{1}{2}$
$x_2=\frac{4+8}{2*4}=\frac{3}{2}>0$
$|x_1|$- не подходит
ответ: k=4

Answer 2

Как мне кажется решение будет такое

Answer 3

Для начала найдем корни данного квадратного уравнения 4x² + kx - 3 = 0, используя формулу для квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

где a = 4, b = k и c = -3.

Сначала найдем дискриминант (D):

D = b² - 4ac = k² - 4 * 4 * (-3) = k² + 48.

Теперь мы знаем, что сумма модулей корней равна 2 и модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня:

|x₁| + |x₂| = 2 |x₁| > |x₂|

Из этого условия мы можем сделать следующие выводы:

1. Поскольку модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня, то один из корней (пусть это будет x₁) будет отрицательным, а другой корень (x₂) - положительным.

2. Сумма модулей корней равна 2:

|x₁| + x₂ = 2

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: x₁ - отрицательный корень, x₂ - положительный корень. |x₁| = -x₁ (поскольку x₁ отрицателен), тогда:

-x₁ + x₂ = 2

Случай 2: x₂ - отрицательный корень, x₁ - положительный корень. |x₂| = -x₂ (поскольку x₂ отрицателен), тогда:

x₁ - x₂ = 2

Теперь мы можем решить оба уравнения для x₁ и x₂ в обоих случаях:

Случай 1: -x₁ + x₂ = 2

x₂ = x₁ + 2

Случай 2: x₁ - x₂ = 2

x₁ = x₂ + 2

Теперь мы можем использовать формулу для суммы корней, чтобы выразить сумму модулей корней в терминах x₁ и x₂:

|x₁| + x₂ = 2

Подставим выражение для x₂ из случая 1:

|-x₁| + (x₁ + 2) = 2

Теперь можем рассмотреть два подслучая:

Подслучай 1.1: x₁ отрицателен (так как модуль отрицательного числа равен его абсолютному значению): -x₁ + (x₁ + 2) = 2

Упростим:

2x₁ + 2 = 2

2x₁ = 0

x₁ = 0

Подслучай 1.2: x₁ положителен: x₁ + (x₁ + 2) = 2

Упростим:

2x₁ + 2 = 2

2x₁ = 0

x₁ = 0

Таким образом, в обоих подслучаях мы получили x₁ = 0.

Теперь найдем x₂:

Из случая 1 мы знаем:

x₂ = x₁ + 2

x₂ = 0 + 2

x₂ = 2

Теперь у нас есть значения корней x₁ и x₂. Мы можем использовать их, чтобы найти значение параметра k в уравнении 4x² + kx - 3 = 0:

Подставим x₁ и x₂ в уравнение:

4x₁² + kx₁ - 3 = 0

4 * 0² + k * 0 - 3 = 0

0 + 0 - 3 = 0

-3 = 0

Уравнение не выполняется для x₁ = 0.

Теперь рассмотрим x₂:

4x₂² + kx₂ - 3 = 0

4 * 2² + k * 2 - 3 = 0

4 * 4 + 2k - 3 = 0

16 + 2k - 3 = 0

2k + 13 = 0

2k = -13

k = -13 / 2

k = -6.5

Итак, значение параметра k равно -6.5.