Question

Найдите площадь фигуры : y=8-X^2 y=x^2

Answer 1

Что бы найти площадь этой фигуры необходимо найти точки пересечения это график
$f_{1}(x)=8-x^{2} \\f_{2}(x)=x^{2} \\ f_{1}=f_{2} \\8-x^{2}=x^{2} \\8=2x^{2} \\ \left \{ {{x_{1}=2} \atop {x_{2}=-2}} \right.$
Теперь запишем интеграл
$\int\limits{f_{1}-f_{2}} \, dx = \int\limits {(8-x^{2})-x^{2}} \, dx =8x-2\frac{x^{3}}{3}$
Подставим значение
$8x-\frac{x^{3}}{3} \\(8*2-\frac{(2)^{2}}{3})-(8*(-2)-\frac{(-2)^{2}}{3})=\frac{64}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 8 - x^2 и y = x^2, вам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл площади между этими точками.

1. Начнем с нахождения точек пересечения. Поставим уравнения этих двух функций равными друг другу и решим их:

   8 - x^2 = x^2

   Переносим x^2 на одну сторону:

   8 = 2x^2

   Делим обе стороны на 2:

   4 = x^2

   Извлекаем корень:

   x = ±2

   Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-2, 4) и (2, 4).

2. Теперь, чтобы найти площадь между этими двумя графиками, вычислим определенный интеграл разности этих функций от -2 до 2:

   Площадь = ∫[от -2 до 2] (8 - x^2 - x^2) dx

   Площадь = ∫[от -2 до 2] (8 - 2x^2) dx

   Площадь = [8x - (2/3)x^3] | от -2 до 2

   Теперь вычислим значение верхней границы (2) и вычитаем значение нижней границы (-2):

   Площадь = [8(2) - (2/3)(2^3)] - [8(-2) - (2/3)(-2^3)]

   Площадь = [16 - (16/3)] - [-16 - (16/3)]

   Площадь = (48/3) - (-48/3)

   Площадь = (48 + 48)/3

   Площадь = 96/3

   Площадь = 32

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 8 - x^2 и y = x^2, равна 32 квадратным единицам.