Question

Найдите экстримом функций f(x)=x^4-4x^3

Answer 1

F(x)=x^4 -4x³
f`(x)=4x³-12x²=4x²(x-3)=0
x=0    x=3
         _              _              +
____________________________
                 0                3
                                 min
ymin(3)=81-108=-27
(3;-27)-точка минимума

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = x^4 - 4x^3$, нужно найти её производную и решить уравнение производной равной нулю.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 - 4x^3) = 4x^3 - 12x^2.$

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $4x^3 - 12x^2 = 0.$ $4x^2 (x - 3) = 0.$ Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 3$.

3. Теперь найдем вторую производную для определения типа экстремумов: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x.$

4. Оценим поведение второй производной в окрестности корней $x = 0$ и $x = 3$:

   • При $x = 0$, $f''(0) = 0$, что говорит о том, что в данной точке не удается определить тип экстремума.
   • При $x = 3$, $f''(3) = 72 - 72 = 0$, что также не позволяет определить тип экстремума.

Таким образом, анализ второй производной не позволяет точно определить тип экстремумов функции $f(x) = x^4 - 4x^3$ в точках $x = 0$ и $x = 3$. Для более точного анализа необходимо использовать дополнительные методы, например, исследование значений функции в окрестностях этих точек или анализ знака первой производной.