Question

При любых значениях Х и У верно неравенство 5х^2+4ху+у^2+6х>А. Найдите наибольшее возможное целое значение А

Answer 1

Преобразуем правую часть:
(y^2+4yx+4x^2)+(x^2+6x+9)-9=
(y+2x)^2+(x+3)^2-9≥-9⇒A= - 10

Ответ: - 10

Answer 2

Неравенство 5х^2 + 4ху + у^2 + 6х > А может быть рассмотрено как квадратичная форма относительно переменных x и y. Давайте попробуем разложить её:

5х^2 + 4ху + у^2 + 6х = (5x^2 + 6x) + 4ху + у^2

Теперь завершим квадраты в первых двух членах, добавляя и вычитая необходимое:

= 5(x^2 + 2x) + 4ху + у^2 = 5(x^2 + 2x + 1 - 1) + 4ху + у^2 = 5((x + 1)^2 - 1) + 4ху + у^2 = 5(x + 1)^2 - 5 + 4ху + у^2

Теперь нам нужно определить наибольшее значение А, при котором данное неравенство выполняется для любых значений x и y.

Заметим, что выражение (x + 1)^2 всегда неотрицательно, так как это квадрат, и оно будет равно нулю только при x = -1. Таким образом, наименьшее значение 5(x + 1)^2 можно достичь равным нулю (когда x = -1), а значит, оно не может быть меньше -5.

Далее, мы видим, что 4ху и у^2 могут быть положительными или нулевыми, но они никогда не будут отрицательными.

Исходя из этого, наибольшее возможное целое значение А будет -5, так как даже если 5(x + 1)^2 равно нулю, положительные или нулевые значения 4ху и у^2 всегда будут сдвигать результат в сторону больших значений.

Итак, наибольшее возможное целое значение А = -5.