Question

Сумма всех натуральных решений неравенства (6-x)*(x+7)^3*(x-17)^2>=0 равна : (Очень подробно плиз распишите)

Answer 1

(6-x)(x+7)>=0
x=6
x= -7
[-7;6] и {17}
1+2+3+4+5+6+17=21+17= 38

Answer 2

Давайте разберемся с этим неравенством поэтапно. Для начала, давайте определим, при каких значениях переменной x данное неравенство выполняется.

У нас есть следующее неравенство: $(6 - x) \cdot (x + 7)^3 \cdot (x - 17)^2 \geq 0$

Чтобы понять, при каких значениях x это неравенство выполнено, нужно выяснить, когда произведение трех множителей положительно или нулевое. Для этого рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. $(6 - x)$ - это линейный множитель. Он будет положителен, если $x < 6$, и отрицателен, если $x > 6$.

2. $(x + 7)^3$ - это кубический множитель. Он всегда будет положителен, так как куб любого числа положителен.

3. $(x - 17)^2$ - это квадратный множитель. Он будет положителен, если $x > 17$, и нулевой, если $x = 17$.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации знаков для этих множителей:

1. $(6 - x) > 0$, $(x + 7)^3 > 0$, $(x - 17)^2 > 0$ В этом случае все три множителя положительны. Это происходит при $x < 6$ и $x > 17$.

2. $(6 - x) < 0$, $(x + 7)^3 < 0$, $(x - 17)^2 < 0$ Этот случай невозможен, так как куб и квадрат всегда положительны, и мы не можем получить отрицательные значения всех трех множителей одновременно.

3. $(6 - x) > 0$, $(x + 7)^3 < 0$, $(x - 17)^2 < 0$ Этот случай также невозможен, так как куб и квадрат не могут быть отрицательными одновременно.

4. $(6 - x) < 0$, $(x + 7)^3 > 0$, $(x - 17)^2 < 0$ Этот случай невозможен, так как куб всегда положителен, и мы не можем получить отрицательные значения всех трех множителей одновременно.

5. $(6 - x) > 0$, $(x + 7)^3 > 0$, $(x - 17)^2 < 0$ Этот случай также невозможен, так как квадрат не может быть отрицательным.

6. $(6 - x) < 0$, $(x + 7)^3 < 0$, $(x - 17)^2 > 0$ В этом случае первый и третий множители положительны, а второй отрицателен. Это происходит при $x > 17$.

Теперь мы можем объединить все диапазоны значений x, при которых выполняется неравенство:

• $x < 6$
• $x > 17$

Чтобы найти сумму всех натуральных решений в этих диапазонах, нужно сложить все натуральные числа, которые соответствуют этим условиям. Под натуральными числами понимаются положительные целые числа (1, 2, 3, ...).

Суммируя все натуральные числа между 1 и 6, а также между 17 и бесконечностью, мы получим искомую сумму натуральных решений данного неравенства. Эту сумму можно записать следующим образом:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 18 + 19 + 20 + \ldots$

Это бесконечная геометрическая прогрессия, и её сумма равна:

$S = \frac{a_1}{1 - r}$

где $a_1 = 1$ - первый член прогрессии (наименьшее натуральное число из перечисленных), а $r = \frac{19}{18}$ - отношение второго члена ко второму члену, и так далее.

Рассчитаем сумму:

$S = \frac{1}{1 - \frac{19}{18}} = \frac{1}{\frac{-1}{18}} = -18$

Однако, так как натуральные числа не могут быть отрицательными, это означает, что данное неравенство не имеет натуральных решений, и сумма всех натуральных решений равна 0.