Question

Найти экстремумы функции и промежутки возрастающие и убывающие функции,y=2x^3-x^4

Answer 1

Алгоритм для нахождения точек экстремума
1) производная
2) решить уравнение у'=0
3) с помошью интервалов определить знаки
4) используем достаточное условие

Answer 2

Чтобы найти экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции $y = 2x^3 - x^4$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по $x$ (первую производную).
2. Решите уравнение $y' = 0$, чтобы найти критические точки (где производная равна нулю).
3. Составьте таблицу знаков производной в окрестностях критических точек.
4. Определите интервалы возрастания и убывания функции, а также места локальных экстремумов, используя таблицу знаков производной.

Давайте выполним каждый из этих шагов.

1. Найдем производную функции $y = 2x^3 - x^4$:

$y' = 6x^2 - 4x^3.$

2. Решим уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 4x^3 = 0.$

Вынесем общий множитель $2x^2$:

$2x^2(3 - 2x) = 0.$

Отсюда получаем два значения $x$:

$x = 0$ и $x = \frac{3}{2}$.

3. Составим таблицу знаков производной $y'$ в окрестности критических точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, 0) & (0, \frac{3}{2}) & (\frac{3}{2}, \infty) \\ \hline y' & \text{+} & \text{-} & \text{+} \\ \hline \end{array}$$

4. Определим интервалы возрастания и убывания, а также места локальных экстремумов:

• На интервале $(-\infty, 0)$, производная $y'$ положительна, значит, функция $y$ возрастает на этом интервале.
• На интервале $(0, \frac{3}{2})$, производная $y'$ отрицательна, следовательно, функция $y$ убывает.
• На интервале $(\frac{3}{2}, \infty)$, производная $y'$ положительна, функция $y$ возрастает.

Таким образом, можно сделать выводы:

• Функция $y$ убывает на интервале $(0, \frac{3}{2})$.
• Функция $y$ возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(\frac{3}{2}, \infty)$.

Также можно заметить, что функция $y$ не имеет локальных экстремумов, так как на критических точках $x = 0$ и $x = \frac{3}{2}$ производная $y'$ не меняет знак.

Вот такой анализ функции $y = 2x^3 - x^4$.