Question

∫(dx)/(sinx(1+sinx)) Найдите неточного интеграла?

Answer 1

Посмотрите решение во вложении, в квадратных скобках показана замена, оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте воспользуемся методом частей. Для этого представим интеграл в виде произведения двух функций и применим следующую формулу:

$$\int \frac{dx}{\sin x (1 + \sin x)} = \int \frac{u}{v} \, dx = \ln|v| + \int u \, d(\ln|v|),$$

где $u = 1$ и $v = \sin x (1 + \sin x)$.

Дифференцируем функцию $v$ по $x$:

$$\frac{dv}{dx} = \cos x (1 + \sin x) + \sin x \cdot \cos x = \cos x + \sin x \cos x = \cos x (1 + \sin x).$$

Теперь можем выразить дифференциал $d(\ln|v|)$:

$$d(\ln|v|) = \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} \, dx = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\sin x (1 + \sin x)} \, dx = \frac{\cos x}{\sin x} \, dx.$$

Подставляем это обратно в наше интегральное выражение:

$$\int \frac{dx}{\sin x (1 + \sin x)} = \ln|v| + \int u \, d(\ln|v|) = \ln|\sin x (1 + \sin x)| + \int 1 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \, dx.$$

Интеграл $\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ можно вычислить заменой переменной $u = \sin x$, $du = \cos x \, dx$:

$$\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\sin x| + C.$$

Теперь подставляем это обратно в предыдущее выражение:

$$\int \frac{dx}{\sin x (1 + \sin x)} = \ln|\sin x (1 + \sin x)| + \ln|\sin x| + C = \ln|\sin x (1 + \sin x)| + \ln|\sin x| + C.$$

Окончательный ответ:

$$\int \frac{dx}{\sin x (1 + \sin x)} = \ln|\sin x (1 + \sin x)| + \ln|\sin x| + C,$$

где $C$ — константа интегрирования.