Question

Найдите точку минимума y=1/3 x^3 - 2.5x^2 +4x

Answer 1

$y= \frac{1}{3} x^3-2,5x^2+4x\\\\y'=x^2-5x+4=0\; \; \; \to \; \; \; x_1=1\; ,\; \; x_2=4\\\\Znaki\; y'\, :\; \; \; +++(1)---(4)+++\\\\.\qquad \; \qquad \qquad \nearrow \; \; (1)\; \; \searrow \; \; (4)\; \; \; \; \nearrow \\\\x_{min}=4\; ,\; \; y_{min}= \frac{1}{3}\cdot 4^3-2,5\cdot 4^2+4\cdot 4=-2\frac{2}{3}$

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y = (1/3)x^3 - 2.5x^2 + 4x, мы должны найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Затем найдем значение x, которое соответствует этой точке, и подставим его обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y.

Шаг 1: Найдем производную функции y = (1/3)x^3 - 2.5x^2 + 4x: y' = d/dx [(1/3)x^3 - 2.5x^2 + 4x] y' = x^2 - 5x + 4

Шаг 2: Решим уравнение y' = 0, чтобы найти точку, в которой производная равна нулю: x^2 - 5x + 4 = 0

Это квадратное уравнение можно решить, факторизуя его или используя квадратное уравнение. Решим его, факторизуя: (x - 4)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 4 и x = 1.

Шаг 3: Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: Для x = 4: y = (1/3)(4)^3 - 2.5(4)^2 + 4(4) = 64/3 - 40 + 16 = 20/3

Для x = 1: y = (1/3)(1)^3 - 2.5(1)^2 + 4(1) = 1/3 - 2.5 + 4 = 5/3

Итак, у нас есть две точки, где производная равна нулю: (4, 20/3) и (1, 5/3). Чтобы найти точку минимума, мы должны выбрать ту точку, в которой значение функции y минимально. Сравнив значения 20/3 и 5/3, мы видим, что 5/3 меньше, поэтому точка минимума находится в точке (1, 5/3).