Question

Дан треугольник ABC: вектор AB=(-1;-1;-√2) BC=( √3;√3;-√6) Найти все углы треугольника

Answer 1

|AB| = √(1+1+2) = 2

|BC| = √(3+3+6) = 2√3

cosα = (-√3 - √3 + √12)/(4√3) = 0 => α = 90°

AB и BC - катеты

tgβ = 2√3/2 = √3 => β = 60°

γ = 180° - 90° - 60° = 30°

Ответ: 90°, 60°, 30°

Answer 2

Чтобы найти углы треугольника ABC, можно воспользоваться скалярным произведением векторов и знанием о свойствах тригонометрических функций. Первым шагом нам понадобится вычислить вектор AC.

Вектор AC можно найти как разность векторов BC и BA:

AC = BC - AB

Выполнив вычисления:

AC = (√3; √3; -√6) - (-1; -1; -√2) = (√3 + 1; √3 + 1; -√6 + √2)

Теперь, для нахождения углов между векторами, можно использовать следующее соотношение:

cos(θ) = (A * B) / (||A|| * ||B||),

где A и B - векторы, θ - угол между ними, * обозначает скалярное произведение векторов, а ||A|| и ||B|| - их длины.

1. Найдем угол между векторами AB и AC:

cos(∠BAC) = (AB * AC) / (||AB|| * ||AC||)

AB * AC = (-1 * (√3 + 1)) + (-1 * (√3 + 1)) + (-√2 * (-√6 + √2)) = -√3 - 1 - √3 - 1 + 2√3 = -2√3 - 2

||AB|| = √((-1)^2 + (-1)^2 + (-√2)^2) = √6 ||AC|| = √((√3 + 1)^2 + (√3 + 1)^2 + (-√6 + √2)^2) = √(3 + 2√3 + 1 + 3 + 2√3 + 1 + 6 - 2√2 + 2) = √(14 + 4√3 - 2√2)

Теперь подставляем значения:

cos(∠BAC) = (-2√3 - 2) / (√6 * √(14 + 4√3 - 2√2))

2. Найдем угол между векторами BC и BA (этот угол совпадает с углом BAC):

cos(∠BCA) = (BC * BA) / (||BC|| * ||BA||)

BC * BA = (√3 * (-1)) + (√3 * (-1)) + (-√6 * (-√2)) = -√3 - √3 + 2√3 = 0

||BC|| = √(√3^2 + √3^2 + (-√6)^2) = 2√3 ||BA|| = √((-1)^2 + (-1)^2 + (-√2)^2) = √6

Теперь подставляем значения:

cos(∠BCA) = 0 / (2√3 * √6) = 0

3. Так как ∠BAC = ∠BCA, то мы уже знаем, что cos(∠BCA) = 0. Следовательно, угол ∠BAC = 90°.

Обратите внимание, что для нахождения других углов треугольника, вам понадобится знание длин сторон треугольника, так как использованный метод определения угла основан на скалярных произведениях векторов. В данной задаче длины сторон треугольника не были предоставлены, поэтому я могу рассчитать только угол ∠BAC (и аналогично ∠BCA).