Question

Указать уравнение плоскости,которая перпендикулярна вектора n=(4;-1;-5)

Answer 1

Даны точки, через которые проходит плоскость π1: А (2; -2; 5), B(-2; 1; 4) Дано ур-ие плоскости π2, к которой перпендикулярна плоскость π1: 2x + 3y - 4z + 2 = 0  Нужно найти ур-ие плоскости π1.  Решение: Нормаль плоскости π2 "n = (2; 3; -4)" будет перпендикулярна самой плоскости и параллельна плоскости π1 Возьмём произвольную точку M(x; y; z) ∈ π1 Тогда условие компланарности векторов задаёт уравнение плоскости π1: (AM, AB, n) = 0 - по сути дела это смешанное произведение векторов.  AM = (x - 2; y + 2; z - 5) AB = (-4; 3; -1) n = (2; 3; -4)  Составляем определитель и решаем его по правилу треугольника:






(x - 2)*(-12) + (z - 5)*(-12) + (y + 2)*(-2) - (z - 5)*6 - (x - 2)*(-3) - (y + 2)*16 = 0 -12x + 24 - 12z + 60 - 2y - 4 - 6z + 30 + 3x - 6 - 16y - 32 = 0 -9x - 18y - 18z + 72 = 0 |*(-1) 9x + 18y + 18z - 72 = 0 Тогда уравнение плоскости π1 равно 9x + 18y + 18z - 72 = 0

Answer 2

Уравнение плоскости можно задать в виде общего уравнения плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, а D - свободный член.

Для перпендикулярной вектору n=(4;-1;-5) плоскости нормальный вектор будет совпадать с вектором n:

A = 4, B = -1, C = -5.

Теперь мы можем записать уравнение плоскости:

4x - y - 5z + D = 0.

Чтобы найти свободный член D, нам нужна дополнительная информация, например, координаты точки, через которую проходит плоскость. Если у вас есть эта информация, вы можете подставить координаты точки (x₀, y₀, z₀) в уравнение плоскости и найти D:

4x₀ - y₀ - 5z₀ + D = 0.

Таким образом, уравнение плоскости будет полностью определено.