Question

Помогите, пожалуйста, найти координаты фокусов и уравнения директрис у параболы 4(у-1)=(х+2)^2

Answer 1

Дана парабола 4(у-1)=(х+2)² или 2*2*(у-1)=(х+2)².

Каноническое уравнение параболы, у которой фокус расположен на прямой, параллельной оси Оу, имеет  вид:

$(x-a)^2=+-2p(y-b).$

У нас знак р положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.

На основании заданного уравнения параболы определяем, что вершина параболы имеет координаты (а; в) = (-2: 1).

Фокус и директриса находятся на прямой х = -2 и расположены выше и ниже вершины на величину р/2 =2/2 = 1.

Получаем:

 - координаты  фокуса F: (-2: 2),

 - уравнение директрисы Д: у = 0 ( это ось абсцисс). 

Answer 2

Для начала, давайте приведем данное уравнение параболы к каноническому виду, чтобы легче было идентифицировать фокусы и директрисы.

Исходное уравнение: 4(y - 1) = (x + 2)^2

Раскроем квадрат справа: 4(y - 1) = x^2 + 4x + 4

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения: x^2 + 4x + (4y - 4) = 0

Для удобства, вынесем 4 из последнего члена: x^2 + 4x + 4(y - 1) = 0

Теперь поделим всё уравнение на 4: (1/4)x^2 + x + (y - 1) = 0

Теперь перепишем это уравнение так, чтобы в левой части был квадратичный член и линейный член: (1/4)x^2 + x + (y - 1) = 0

(1/4)(x^2 + 4x) + (y - 1) = 0

(1/4)(x^2 + 4x + 4) - 1 + (y - 1) = 0

(1/4)(x + 2)^2 + (y - 2) = 0

Теперь у нас есть уравнение параболы в каноническом виде: (1/4)(x + 2)^2 = -(y - 1)

Отсюда видно, что парабола открывается вниз и смещена на 1 единицу вверх по оси y. Теперь мы можем найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

Фокус параболы находится на расстоянии p от вершины параболы, где p - фокусное расстояние. Для параболы вида (1/4)(x + h)^2 = 4p(y - k) фокусное расстояние равно p = 1/4.

Так как парабола смещена вверх на 1 единицу, вершина параболы находится в точке (-2, 1).

Фокусное расстояние (p) равно 1/4. Так как парабола открывается вниз, фокус будет находиться ниже вершины на расстояние p = 1/4:

Координаты фокуса: (-2, 1 - 1/4) = (-2, 3/4)

Теперь найдем уравнение директрисы. Директриса также находится на расстоянии p от вершины параболы, но в противоположном направлении. Так как парабола открывается вниз, директриса будет находиться выше вершины на расстояние p = 1/4.

Координаты точки на директрисе: (-2, 1 + 1/4) = (-2, 5/4)

Уравнение директрисы будет иметь вид: y = 5/4

Итак, координаты фокуса: (-2, 3/4), уравнение директрисы: y = 5/4.