Question

Построить линию.Узнать длины осей, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис (для эллипса), уравнения асимптот (для гиперболы). 9х2-4у2-36 =0 2- это квадратное число.

Answer 1

Чтобы построить уравнение эллипса, давайте представим его в канонической форме. Уравнение эллипса имеет следующий вид:

\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.\]

Где \((h, k)\) - координаты центра эллипса, \(a\) и \(b\) - полуоси эллипса.

В данном случае у нас есть уравнение:

\[9x^2 - 4y^2 - 36 = 0.\]

Для начала, приведем его к стандартной форме делением на 36:

\[\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1.\]

Теперь у нас получилась эллиптическая форма, и мы можем выразить параметры эллипса:

\[a^2 = 9 \quad \text{(полуось по оси y)}\] \[b^2 = 4 \quad \text{(полуось по оси x)}\]

Таким образом, координаты фокусов эллипса можно найти по формуле \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\):

\[c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}.\]

Фокусы расположены вдоль оси \(y\) в точках \((h, k \pm c) = (0, \pm \sqrt{5}).\)

Эксцентриситет \(e\) определяется как \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}.\)

Уравнения директрис можно найти по формуле \(x = h \pm \frac{a}{e}\):

\[x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}.\]

Таким образом, уравнения директрис:

\[x = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad x = -\frac{2}{\sqrt{5}}.\]

Это краткое описание построения эллипса. Теперь, касательно гиперболы. У вас в вопросе нет уравнения гиперболы, но я могу вам подсказать общую формулу:

\[\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.\]

Если у вас есть уравнение гиперболы, то можно приступить к подобному анализу для нахождения координат фокусов, эксцентриситета, уравнений директрис и асимптот. Если у вас есть конкретное уравнение гиперболы, дайте мне знать, и я помогу вам с анализом.