Question

Нужна помощь! Привести уравнения кривых к каноническому виду. Найти эксцетриситет, координаты фокусов, уравнения директрис и асимптот (если есть). Сделать чертеж. а) 16х² - 9у² - 144 = 0 б) х² - 4у + 2х - 7 = 0

Answer 1

а) 16х² - 9у² - 144 = 0.
Разделим обе части уравнения на 144 и перенесём свободный член направо.
а)(16/144)*х² - (9/144)*у² = 1.
Получаем уравнение гиперболы  (х²/9) - (у²/16) = 1.
Приводим его к каноническому виду: (х²/3²) - (у²/4²) = 1.
Здесь а = 3, в = 4.
с = √(9+16) = √25 = 5.
эксцетриситет ε = с/а = 5/3
координаты фокусов F₁,₂ =(+-c; 0) = (+-5; 0).
уравнения директрис x = +-a/ε = +-3/(5/3) = +-9/5
асимптот y = +-(b/a)x = +-(4/3)*x.

б) х² - 4у + 2х - 7 = 0.
Выделяем полные квадраты:
для x1:
(x1²+2*1x1 + 1) -1*1 = (x1+1)²-1
Преобразуем исходное уравнение:
(x1+1)² = 4y + 8
Получили уравнение параболы:
(x - x0)² = 2p(y - y0)
(x1+1)² = 2*2(y - (-2))
Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (-1;-2)
Параметр p = 2
Координаты фокуса:
$F(x_o; \frac{p}{2} )=F(-1; \frac{-2}{2} ).$
Уравнение директрисы: y = y0 - p/2
y = -2 - 1 = -3.