Question

в некотором царстве в некотором государстве стоимость алмаза пропорциональна квадрату его массы При огранке алмаза откололась некоторая его часть. Какая часть алмаза откололась если общая стоимость двух получившихся кусков оказалась наименьшей

Answer 1

A+c - масса алмаза
(a+c)² - const
a²+c² - наименьшее
(a+c)² = a²+2ac+c²
a²+c² - наименьшее, когда 2ac - наибольшее, но 2ac никогда не превосходит a²+c²
Тогда
a²+c²=2ac
a²-2ac+c²=0
(a-c)²=0
a=c
Тогда, откололась 0.5 часть алмаза

Answer 2

Допустим, исходно у нас есть алмаз с массой M и стоимостью C, где C пропорциональна квадрату массы M: C = kM^2, где k - постоянная пропорциональности.

После огранки алмаз разделился на два куска с массами m1 и m2 (m1 + m2 = M) и стоимостями C1 и C2 соответственно.

Мы хотим найти отношение масс m1 и m2, при котором суммарная стоимость C1 + C2 будет наименьшей.

Так как C = kM^2, то C1 = k(m1^2), а C2 = k(m2^2).

Суммарная стоимость двух кусков алмаза: C1 + C2 = k(m1^2) + k(m2^2) = k(m1^2 + m2^2).

Мы знаем, что m1 + m2 = M, таким образом, m2 = M - m1.

Теперь подставим m2 в уравнение для суммарной стоимости:

C1 + C2 = k(m1^2 + (M - m1)^2).

Для нахождения минимальной суммарной стоимости, возьмем производную по m1 и прировняем ее к нулю:

d/dm1 (C1 + C2) = d/dm1 [k(m1^2 + (M - m1)^2)] = 0.

Раскроем скобки и продифференцируем:

d/dm1 [k(m1^2 + (M - m1)^2)] = d/dm1 [k(m1^2 + M^2 - 2Mm1 + m1^2)].

d/dm1 [k(m1^2 + M^2 - 2Mm1 + m1^2)] = 2km1 - 2kM = 0.

Теперь приравняем 2km1 - 2kM к нулю и решим уравнение:

2km1 - 2kM = 0.

2km1 = 2kM.

m1 = M.

Таким образом, чтобы общая стоимость двух кусков алмаза была наименьшей, нужно отколоть часть алмаза так, чтобы масса одного куска равнялась массе исходного алмаза M.